Encontrar a fórmula para a
-ésima soma parcial da série
e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.
Séries com termos geométricos
Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
7.
7.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série que soma termos do tipo
, começando de
até o infinito. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para a soma parcial dessa série, ou seja, somar os primeiros
termos, e depois usar essa fórmula para descobrir se a série toda converge para algum valor específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries telescópicas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série:
. Esse tipo de fração pode ser decomposto usando frações parciais. A ideia é escrever
como a diferença entre duas frações mais simples. Vamos fazer isso:
Passo 3
Agora que temos a expressão de frações parciais, vamos somar os primeiros
termos da série. Escrevendo a soma parcial
:
Passo 4
Observamos que na soma acima, muitos termos vão se cancelar. Esse tipo de s��rie é chamada de telescópica justamente por causa desse “efeito de colapso” dos termos intermediários. Vamos ver quais termos ficam:
Passo 5
Agora, temos uma expressão simplificada para a soma parcial
. Para encontrar a soma da série quando
tende ao infinito, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Passo 6
Calculando o limite:
Então, a soma da série converge para 5.
Resposta
A soma da série
converge para 5.