Encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial da série 51 cdot 2+52 cdot 3+53 cdot 4+cdots+5n(n+1)+cdots e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.

Séries com termos geométricos

Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
7. sumn=0^infty (-1)^n4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série que soma termos do tipo , começando de até o infinito. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para a soma parcial dessa série, ou seja, somar os primeiros termos, e depois usar essa fórmula para descobrir se a série toda converge para algum valor específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries telescópicas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série: 5n(n+1) = 5n - 5n+1 . Esse tipo de fração pode ser decomposto usando frações parciais. A ideia é escrever como a diferença entre duas frações mais simples. Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora que temos a expressão de frações parciais, vamos somar os primeiros Sn = (51 - 52) + (52 - 53) + (53 - 54) + cdots + (5n - 5n+1) termos da série. Escrevendo a soma parcial :

Passo 4

Observamos que na soma acima, muitos termos vão se cancelar. Esse tipo de s��rie é chamada de telescópica justamente por causa desse “efeito de colapso” dos termos intermediários. Vamos ver quais termos ficam:
Sn = 5 (1 - 1n+1)

Passo 5

Agora, temos uma expressão simplificada para a soma parcial limn to infty Sn = limn to infty 5 (1 - 1n+1) . Para encontrar a soma da série quando tende ao infinito, vamos calcular o limite de quando vai para o infinito:

Passo 6

Calculando o limite:
limn to infty 5 (1 - 1n+1) = 5 (1 - 0) = 5
Então, a soma da série converge para 5.

Resposta

A soma da série converge para 5.

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