Encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial da série 1 - 2 + 4 - 8 + ... + (-1)^(n-1) * 2^(n-1) + ... e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma fórmula para a soma dos primeiros n termos da série e depois ver se essa soma totaliza a série inteira se ela convergir. A matéria que a gente vai usar aqui é Séries Geométricas, que é uma parte da Matemática. Precisamos entender o que é uma série geométrica e como calcular a soma parcial dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum (ou seja, quanto a gente multiplica um termo para chegar no próximo). Na nossa série, o primeiro termo a é 1. Vamos ver a razão comum:
  • De 1 para -2, a gente multiplicou por -2.
  • De -2 para , de novo multiplicou por -2.
  • E assim por diante.
Então, a razão comum r é -2. Isso confirma que nossa série é geométrica.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a soma parcial de uma série geométrica. A fórmula para a soma dos primeiros n termos é:
onde:
  • é a soma dos primeiros n termos,
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão comum.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula à nossa série. Sabemos que e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Então, a fórmula para a soma parcial dos primeiros n termos é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a soma da série inteira, ou seja, quando n tende ao infinito. Para isso, analisamos o limite da soma parcial:
Mas, para uma série geométrica infinita convergir, a razão comum r precisa satisfazer . No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que a série não converge; ela diverge.

Resposta

A fórmula para a n-ésima soma parcial é . A série não converge.

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