Encontrar a fórmula para a
-ésima soma parcial da série
e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma fórmula para a soma dos primeiros
termos da série
e depois ver se essa soma totaliza a série inteira se ela convergir. A matéria que a gente vai usar aqui é Séries Geométricas, que é uma parte da Matemática. Precisamos entender o que é uma série geométrica e como calcular a soma parcial dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum (ou seja, quanto a gente multiplica um termo para chegar no próximo). Na nossa série, o primeiro termo
é
. Vamos ver a razão comum:
- De
para , a gente multiplicou por . - De
para , de novo multiplicou por . - E assim por diante.
Então, a razão comum
é
. Isso confirma que nossa série é geométrica.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a soma parcial de uma série geométrica. A fórmula para a soma dos primeiros
termos é:
onde:
-
é a soma dos primeiros termos, -
é o primeiro termo, -
é a razão comum.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula à nossa série. Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Então, a fórmula para a soma parcial dos primeiros
termos é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a soma da série inteira, ou seja, quando
tende ao infinito. Para isso, analisamos o limite da soma parcial:
Mas, para uma série geométrica infinita convergir, a razão comum
precisa satisfazer
. No nosso caso,
, que é maior que
. Isso significa que a série não converge; ela diverge.
Resposta
A fórmula para a
-ésima soma parcial é
. A série não converge.