Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
x=t, y=t
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência (0,0).

Passo 1

Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma reta dada pelas equações e . O objetivo é encontrar a parametrização dessa reta usando o comprimento de arco, ou seja, expressar e em função do comprimento percorrido ao longo da reta a partir do ponto de referência . Para isso, vamos precisar saber como calcular o comprimento de uma curva e como reparametrizar uma reta com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta dada por e é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus. O parâmetro aqui representa simplesmente a posição ao longo da reta, mas não necessariamente o comprimento real percorrido.

Passo 3

Agora, para parametrizar por comprimento de arco, precisamos relacionar o parâmetro com o comprimento que a gente percorre ao longo da reta a partir do ponto . O comprimento de arco para uma curva parametrizada por é dado por:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Agora, queremos expressar em função de . Da equação , podemos resolver para :

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta nas equações de e :

Resposta

A parametrização por comprimento de arco da reta é:

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