Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência
.
Passo 1
Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma reta dada pelas equações
e
. O objetivo é encontrar a parametrização dessa reta usando o comprimento de arco, ou seja, expressar
e
em função do comprimento percorrido ao longo da reta a partir do ponto de referência
. Para isso, vamos precisar saber como calcular o comprimento de uma curva e como reparametrizar uma reta com base nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta dada por
e
é uma linha reta que passa pela origem
e tem inclinação 45 graus. O parâmetro
aqui representa simplesmente a posição ao longo da reta, mas não necessariamente o comprimento real percorrido.
Passo 3
Agora, para parametrizar por comprimento de arco, precisamos relacionar o parâmetro
com o comprimento
que a gente percorre ao longo da reta a partir do ponto
. O comprimento de arco
para uma curva parametrizada por
é dado por:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Agora, queremos expressar
em função de
. Da equação
, podemos resolver para
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta nas equações de
e
:
Resposta
A parametrização por comprimento de arco da reta é: