Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se r(t) for uma função vetorial lisa do espaço bidimensional, então
integrala^b|r^prime(t)| d t
será um vetor.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação que diz: "Se integrala^b|r^prime(t)| dt for uma função vetorial lisa do espaço bidimensional, então
será um vetor." Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de funções vetoriais e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial lisa. Uma função vetorial é dita lisa se suas derivadas existem e são contínuas. Isso garante que a curva representada por seja suave, sem quebras ou cantos bruscos.

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada . Ela representa a taxa de variação da posição em relação ao parâmetro , ou seja, é o vetor tangente à curva em cada ponto .

Passo 4

A norma de , denotada por , mede o tamanho (ou comprimento) desse vetor tangente. Como a norma é uma medida escalar, é um valor numérico, não um vetor.

Passo 5

A integral
integrala^b|r^prime(t)| dt
calcula a soma contínua das normas dos vetores tangentes ao longo do intervalo de de a . Isso representa o comprimento total da curva entre e .

Passo 6

Como estamos integrando uma função escalar ( ) em relação a , o resultado da integral também será um valor escalar, ou seja, um número.

Resposta

Falso. A integral resulta em um valor escalar, representando o comprimento da curva, e não em um vetor.

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