Determinar as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v, usando a regra da cadeia.
a) z=ln (x^2+y^2), x=cos u cos v, y=sen u cos v
b) z=e^xy, x=u cos v, y=u sen v a

Passo 1

Então, a gente tem duas partes nesse exercício e vamos resolver cada uma delas usando a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função que depende de outras funções. Aqui, queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Parte a)



Vamos precisar usar a derivada da função logarítmica e a regra da cadeia para derivar em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos definir como partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de e , e como e dependem de e . A fórmula geral para a derivada parcial de em relação a é:
E de forma semelhante para .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2xx^2 + y^2 em relação a partial zpartial y = 2yx^2 + y^2 e :
Isso vem da derivada da função logarítmica, onde derivamos o argumento em relação a e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial xpartial u = -sen u cos v e partial xpartial v = -cos u sen v em relação a partial ypartial u = cos u cos v e partial ypartial v = -sen u sen v :
Essas derivadas vêm das funções trigonométricas definidas para e .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia para partial zpartial u = 2xx^2 + y^2 cdot (-sen u cos v) + 2yx^2 + y^2 cdot (cos u cos v) :
E para partial zpartial v = 2xx^2 + y^2 cdot (-cos u sen v) + 2yx^2 + y^2 cdot (-sen u sen v) :

Passo 6

Agora, vamos simplificar essas expressões. Primeiro, observe que .
Então, partial zpartial u = 2xcos^2v cdot (-sen u cos v) + 2ycos^2v cdot (cos u cos v) .
Substituindo isso nas derivadas:

Passo 7

Agora, simplificamos:
E para partial zpartial u = 2cos u cos vcos^2v cdot (-sen u cos v) + 2sen u cos vcos^2v cdot (cos u cos v) :

Passo 8

Para a parte b), temos outra função composta onde depende de e , que por sua vez dependem de e . Queremos novamente encontrar e .

Passo 9

Primeiro, escrevemos a fórmula da regra da cadeia para partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u :
E semelhante para .

Passo 10

Calculamos as derivadas parciais de partial zpartial x = 1y e^xy em relação a partial zpartial y = -xy^2 e^xy e :
Isso vem da derivada da função exponencial composta com .

Passo 11

Agora, encontramos as derivadas de partial xpartial u = cos v e partial xpartial v = -u sen v em relação a partial ypartial u = sen v e partial ypartial v = u cos v :
Essas derivadas vêm das definições de e .

Passo 12

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia para partial zpartial u = 1y e^xy cdot cos v + (-xy^2 e^xy) cdot sen v :
E para partial zpartial v = 1y e^xy cdot (-u sen v) + (-xy^2 e^xy) cdot (u cos v) :

Passo 13

Simplificamos as expressões. Primeiro, notamos que , então:
Simplificando :
E para partial zpartial u = 1u sen v e^u cos vu sen v cdot cos v - u cos v(u sen v)^2 e^u cos vu sen v cdot sen v :
= 1u sen v e^cot v cos v - cos vu sen v e^cot v
= cos vu sen v e^cot v - cos vu sen v e^cot v = 0

Resposta

Para a parte a):
partial zpartial u = 0 e partial zpartial v = -2 tan v
Para a parte b):
partial zpartial u = 0 e partial zpartial v = - e^cot v csc^2v

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