Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Então, a gente tem duas partes nesse exercício e vamos resolver cada uma delas usando a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função que depende de outras funções. Aqui, queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Parte a)
Vamos precisar usar a derivada da função logarítmica e a regra da cadeia para derivar
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como
depende de
e
, e como
e
dependem de
e
. A fórmula geral para a derivada parcial de
em relação a
é:
E de forma semelhante para
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Isso vem da derivada da função logarítmica, onde derivamos o argumento
em relação a
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Essas derivadas vêm das funções trigonométricas definidas para
e
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia para
:
E para
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essas expressões. Primeiro, observe que .
Então,
.
Substituindo isso nas derivadas:
Passo 7
Agora, simplificamos:
E para
:
Passo 8
Para a parte b), temos outra função composta onde
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Queremos novamente encontrar
e
.
Passo 9
Primeiro, escrevemos a fórmula da regra da cadeia para
:
E semelhante para
.
Passo 10
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Isso vem da derivada da função exponencial composta com
.
Passo 11
Agora, encontramos as derivadas de
e
em relação a
e
:
Essas derivadas vêm das definições de
e
.
Passo 12
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia para
:
E para
:
Passo 13
Simplificamos as expressões. Primeiro, notamos que , então:
Simplificando :
E para
:
Resposta
Para a parte a):
Para a parte b):