Seja
, onde
é uma função de classe
. Calcule
em função das derivadas parciais de
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável. A gente tem uma função
, onde
é uma função bem comportada (classe
significa que ela tem derivadas parciais contínuas até a segunda ordem). Nosso objetivo é calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, usando as derivadas de
.
Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais, que é uma ferramenta essencial quando trabalhamos com funções compostas como essa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia, temos:
Aqui, identificamos que
e
. Agora, vamos calcular as derivadas das funções internas em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas das funções internas:
Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que precisamos derivar novamente
em relação a
:
Vamos derivar cada termo separadamente, lembrando que
e
também dependem de
, então precisamos aplicar a regra da cadeia novamente.
Passo 5
Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo:
Resposta
Portanto, a segunda derivada parcial de
em relação a
é:
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Dada a função
, calcular
Dada a função
, calcular