Seja , onde é uma função de classe . Calcule em função das derivadas parciais de .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável. A gente tem uma função , onde é uma função bem comportada (classe significa que ela tem derivadas parciais contínuas até a segunda ordem). Nosso objetivo é calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, , usando as derivadas de .
Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais, que é uma ferramenta essencial quando trabalhamos com funções compostas como essa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Aplicando a regra da cadeia, temos:
Aqui, identificamos que e . Agora, vamos calcular as derivadas das funções internas em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas das funções internas:
Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a . Isso significa que precisamos derivar novamente em relação a :
Vamos derivar cada termo separadamente, lembrando que e também dependem de , então precisamos aplicar a regra da cadeia novamente.

Passo 5

Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo:

Resposta

Portanto, a segunda derivada parcial de em relação a é:

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Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Dada a função , calcular
Dada a função , calcular