Seja f(r, s)=g(e^r s, r^3 cos s), onde g=g(x, y) é uma função de classe C^2 R^2. Calcule partial^2 fpartial r^2(r, s) em função das derivadas parciais de g.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável. A gente tem uma função , onde é uma função bem comportada (classe significa que ela tem derivadas parciais contínuas até a segunda ordem). Nosso objetivo é calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, , usando as derivadas de .
Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais, que é uma ferramenta essencial quando trabalhamos com funções compostas como essa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial r = partial gpartial x cdot partial (e^rs)partial r + partial gpartial y cdot partial (r^3 cos s)partial r em relação a . Aplicando a regra da cadeia, temos:
Aqui, identificamos que e . Agora, vamos calcular as derivadas das funções internas em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas das funções internas:
partial (e^rs)partial r = s e^rs
partial (r^3 cos s)partial r = 3r^2 cos s
Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:
partial fpartial r = partial gpartial x cdot s e^rs + partial gpartial y cdot 3r^2 cos s

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial r^2 = partialpartial r ( partial gpartial x cdot s e^rs + partial gpartial y cdot 3r^2 cos s ) em relação a . Isso significa que precisamos derivar novamente em relação a :
Vamos derivar cada termo separadamente, lembrando que e também dependem de , então precisamos aplicar a regra da cadeia novamente.

Passo 5

Derivando o primeiro termo:
partialpartial r ( partial gpartial x cdot s e^rs ) = partial^2 gpartial x^2 cdot ( s e^rs )^2 + partial gpartial x cdot s^2 e^rs
Derivando o segundo termo:
partialpartial r ( partial gpartial y cdot 3r^2 cos s ) = partial^2 gpartial y^2 cdot ( 3r^2 cos s )^2 + partial gpartial y cdot 6r cos s

Resposta

Portanto, a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial r^2 = partial^2 gpartial x^2 cdot s^2 e^2rs + partial gpartial x cdot s^2 e^rs + partial^2 gpartial y^2 cdot 9r^4 cos^2 s + partial gpartial y cdot 6r cos s em relação a é:

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