Dada a função , Mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para mostrarmos que . Isso está relacionado ao conceito de diferenciais na matemática, onde é a aproximação linear da variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a variação da função quando muda para e muda para . Então:
Substituindo na função:
Expandindo isso:
Simplificando:
Então:
Simplificando mais:

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial . O diferencial de é dado por:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de :
Então:

Passo 4

Agora, queremos encontrar :
Distribuindo os sinais:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Queremos mostrar que:
Como e estão tendendo a zero, ambos os termos e também tendem a zero. Portanto, a soma deles também tende a zero.

Resposta

Assim, mostramos que .

Exercícios relacionados

Encontrar as derivadas de ordem das seguintes funções:
Seja uma função diferenciável tal que as imagens das curvas estejam contidas no gráfico de . Determine o gradiente de no ponto . Obs.: Gradiente de no ponto .
Esboce a região e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.
Seja uma função que dá a temperatura do ponto do plano. Em que ponto da região a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique.