Dada a função
, Mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e pede para mostrarmos que
. Isso está relacionado ao conceito de diferenciais na matemática, onde
é a aproximação linear da variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a variação da função quando
muda para
e
muda para
. Então:
Substituindo na função:
Expandindo isso:
Simplificando:
Então:
Simplificando mais:
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial
. O diferencial de
é dado por:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de
:
Então:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
:
Distribuindo os sinais:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Queremos mostrar que:
Como
e
estão tendendo a zero, ambos os termos
e
também tendem a zero. Portanto, a soma deles também tende a zero.
Resposta
Assim, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Encontrar as derivadas de
ordem das seguintes funções:
Seja
uma função diferenciável tal que as imagens das curvas
estejam contidas no gráfico de
. Determine o gradiente de
no ponto
. Obs.: Gradiente de
no ponto
.
Esboce a região
e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.
Seja
uma função que dá a temperatura do ponto
do plano. Em que ponto da região
a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique.