Dada a função f(x, y)=x^2+x y-y, Mostrar que lim (De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para mostrarmos que . Isso está relacionado ao conceito de diferenciais na matemática, onde é a aproximação linear da variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular De, que é a variação da função quando f(x + De muda para = x^2 + 2xDe e = (x^2 + xy - y) + (2xDe muda para De. Então:
De
Substituindo na função:
Expandindo isso:
Simplificando:
Então:
Simplificando mais:

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial df = fx De. O diferencial de fx = partial fpartial x = 2x + y é dado por:
fy = partial fpartial y = x - 1
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de df = (2x + y)De:
Então:

Passo 4

Agora, queremos encontrar De:
= 2xDe
Distribuindo os sinais:
= (De
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Queremos mostrar que:
lim (De
Como e estão tendendo a zero, ambos os termos e também tendem a zero. Portanto, a soma deles também tende a zero.

Resposta

Assim, mostramos que .

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