Esboce a região
e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a região
e encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
dentro dessa região. A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariable, especificamente otimização de funções em conjuntos fechados e limitados. Para resolver isso, vamos precisar analisar os pontos críticos da função dentro da região
e também verificar os valores da função na fronteira dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por
, que é o interior e a borda de um círculo de raio 1 centrado na origem do plano coordenado. Ou seja,
é um disco unitário.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro de
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico dentro de
é
.
Passo 4
Vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Passo 5
Agora, precisamos verificar os valores da função na fronteira da região
, ou seja, no círculo
. Para isso, podemos usar o método de Lagrange ou parametrizar a fronteira. Vamos parametrizar para facilitar.
Podemos escrever
e
, onde
varia de 0 a
.
Substituindo na função:
Agora, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em relação a
.
Passo 6
Para encontrar os extremos, vamos derivar em relação a
e igualar a zero:
Fatorando
:
Então, as soluções são:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Caso 5: Resolver
Multiplicando por -1:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Como
deve estar entre -1 e 1, apenas
é válido. Então,
e
.
Vamos calcular
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
Depois de analisar todos os pontos críticos e da fronteira, os valores máximos e mínimos absolutos da função
na região
são:
- Máximo absoluto:
- Mínimo absoluto: