Esboce a região D e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
f(x, y) = 2 x^3 + y^4 ; D = {(x, y) | x^2 + y^2 <= 1}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a região e encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dentro dessa região. A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariable, especificamente otimização de funções em conjuntos fechados e limitados. Para resolver isso, vamos precisar analisar os pontos críticos da função dentro da região e também verificar os valores da função na fronteira dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por , que é o interior e a borda de um círculo de raio 1 centrado na origem do plano coordenado. Ou seja, é um disco unitário.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro de . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico dentro de é .

Passo 4

Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:

Passo 5

Agora, precisamos verificar os valores da função na fronteira da região , ou seja, no círculo . Para isso, podemos usar o método de Lagrange ou parametrizar a fronteira. Vamos parametrizar para facilitar.
Podemos escrever e , onde varia de 0 a .
Substituindo na função:
Agora, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em relação a .

Passo 6

Para encontrar os extremos, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Fatorando :
Então, as soluções são:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Caso 5: Resolver
Multiplicando por -1:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Como deve estar entre -1 e 1, apenas é válido. Então, e .
Vamos calcular nesses pontos:
Para :
Para :

Resposta

Depois de analisar todos os pontos críticos e da fronteira, os valores máximos e mínimos absolutos da função na região são:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto:

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