Seja
uma função que dá a temperatura do ponto
do plano. Em que ponto da região
a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que representa a temperatura em cada ponto do plano, dada por
. A região considerada é
, que é basicamente todos os pontos acima da reta
. Nosso objetivo é encontrar onde essa temperatura atinge seu valor máximo e mínimo nessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em funções de duas variáveis e geometria.
Passo 2
Vamos começar buscando a temperatura máxima. Como a temperatura
é inversamente proporcional a
, para maximizar
precisamos minimizar
. Geometricamente, isso significa encontrar o ponto na região
que está mais próximo da origem
.
Passo 3
Para encontrar o ponto mais próximo da origem na região
, precisamos projetar a origem sobre a reta
. A distância mínima de um ponto
à origem pode ser encontrada usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 4
A fórmula da distância
de um ponto
à reta
é:
No nosso caso, a reta
pode ser escrita como
. Então,
,
e
. Aplicando a fórmula com
:
Passo 5
Agora, para encontrar as coordenadas desse ponto mais próximo, sabemos que ele está na reta
e está a essa distância da origem. A direção perpendicular à reta
tem coeficiente angular
. Então, podemos parametrizar o ponto como
e usar a condição da distância mínima para resolver.
Resolvendo, encontramos que o ponto mais próximo é
.
Passo 6
Com esse ponto, podemos calcular a temperatura máxima:
Passo 7
Agora, para a temperatura mínima, observamos que quanto mais distante do centro (origem) estivermos na região
, menor será a temperatura
. A região
se estende infinitamente, então
pode crescer sem limites, fazendo com que
se aproxime de zero. Portanto, não há um ponto específico onde a temperatura atinge seu valor mínimo na região
; ela simplesmente tende a zero conforme nos afastamos.
Resposta
A temperatura máxima de
é atingida no ponto
na região
. Não existe uma temperatura mínima específica na região, pois a temperatura pode se aproximar de zero à medida que nos afastamos da origem.
Exercícios relacionados
Esboce a região
e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.
Dada a função
, Mostrar que
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: