Seja uma função que dá a temperatura do ponto do plano. Em que ponto da região a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que representa a temperatura em cada ponto do plano, dada por . A região considerada é , que é basicamente todos os pontos acima da reta . Nosso objetivo é encontrar onde essa temperatura atinge seu valor máximo e mínimo nessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em funções de duas variáveis e geometria.

Passo 2

Vamos começar buscando a temperatura máxima. Como a temperatura é inversamente proporcional a , para maximizar precisamos minimizar . Geometricamente, isso significa encontrar o ponto na região que está mais próximo da origem .

Passo 3

Para encontrar o ponto mais próximo da origem na região , precisamos projetar a origem sobre a reta . A distância mínima de um ponto à origem pode ser encontrada usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 4

A fórmula da distância de um ponto à reta é:
No nosso caso, a reta pode ser escrita como . Então, , e . Aplicando a fórmula com :

Passo 5

Agora, para encontrar as coordenadas desse ponto mais próximo, sabemos que ele está na reta e está a essa distância da origem. A direção perpendicular à reta tem coeficiente angular . Então, podemos parametrizar o ponto como e usar a condição da distância mínima para resolver.
Resolvendo, encontramos que o ponto mais próximo é .

Passo 6

Com esse ponto, podemos calcular a temperatura máxima:

Passo 7

Agora, para a temperatura mínima, observamos que quanto mais distante do centro (origem) estivermos na região , menor será a temperatura . A região se estende infinitamente, então pode crescer sem limites, fazendo com que se aproxime de zero. Portanto, não há um ponto específico onde a temperatura atinge seu valor mínimo na região ; ela simplesmente tende a zero conforme nos afastamos.

Resposta

A temperatura máxima de é atingida no ponto na região . Não existe uma temperatura mínima específica na região, pois a temperatura pode se aproximar de zero à medida que nos afastamos da origem.

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Esboce a região e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.
Dada a função , Mostrar que
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: