Dada a função , resolva o sistema e considere a solução para calcular determinante da matriz

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . O objetivo é resolver o sistema formado pelas derivadas parciais e . Depois de encontrar a solução , vamos calcular o determinante da matriz das segundas derivadas dessa função no ponto encontrado. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e entender um pouco sobre matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 3

Calculando :
Isso significa que a derivada de em relação a é .

Passo 4

Calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, vamos montar o sistema de equações igualando as derivadas a zero:
Isso porque queremos os pontos onde as derivadas parciais são nulas.

Passo 6

Resolvendo as equações:
Para a primeira equação :
Para a segunda equação :
Então, a solução do sistema é .

Passo 7

Agora que temos o ponto , precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função . Essas derivadas nos ajudam a entender a curvatura da função naquele ponto.

Passo 8

Calculando :

Passo 9

Calculando e :
Como a função é simples, as derivadas cruzadas são zero.

Passo 10

Calculando :

Passo 11

Com todas as segundas derivadas calculadas, vamos montar a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:

Passo 12

Finalmente, vamos calcular o determinante da matriz Hessiana. O determinante nos dá informações sobre a concavidade da função no ponto analisado.

Resposta

O determinante da matriz das segundas derivadas é .

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