Dada a função
, resolva o sistema
e considere a solução
para calcular
determinante da matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. O objetivo é resolver o sistema formado pelas derivadas parciais
e
. Depois de encontrar a solução
, vamos calcular o determinante da matriz das segundas derivadas dessa função no ponto encontrado. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e entender um pouco sobre matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 3
Calculando
:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, vamos montar o sistema de equações igualando as derivadas a zero:
Isso porque queremos os pontos onde as derivadas parciais são nulas.
Passo 6
Resolvendo as equações:
Para a primeira equação
:
Para a segunda equação
:
Então, a solução do sistema é
.
Passo 7
Agora que temos o ponto
, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função
. Essas derivadas nos ajudam a entender a curvatura da função naquele ponto.
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Calculando
e
:
Como a função
é simples, as derivadas cruzadas são zero.
Passo 10
Calculando
:
Passo 11
Com todas as segundas derivadas calculadas, vamos montar a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
Passo 12
Finalmente, vamos calcular o determinante da matriz Hessiana. O determinante nos dá informações sobre a concavidade da função no ponto analisado.
Resposta
O determinante da matriz das segundas derivadas é
.
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, para isso, determine o valor da contante
.
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