Determine se r(t) é uma função lisa de parâmetro t.
r(t) = t e^(-t) i + (t^2 - 2t) j + cos(pi t) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer saber se a função vetorial é uma função lisa. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre a suavidade das curvas. Para resolver isso, vamos precisar analisar se a função r(t) é diferenciável e se sua derivada é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função r(t). Isso nos ajudará a verificar se a função é diferenciável. Lembre-se que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente em relação a t.
A derivada de r(t) é:
Vamos calcular cada derivada:
  1. Para a componente i:
  1. Para a componente j:
  1. Para a componente k:
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a derivada é contínua. As funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas são todas contínuas em todo o seu domínio, que, nesse caso, é para todo número real t. Portanto, cada componente de é contínua, o que significa que é uma função contínua.

Passo 4

Como a função r(t) é diferenciável e sua derivada é contínua, podemos concluir que r(t) é uma função lisa.

Resposta

Sim, a função r(t) é uma função lisa de parâmetro t.

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