Determine se
é uma função lisa de parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer saber se a função vetorial
é uma função lisa. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre a suavidade das curvas. Para resolver isso, vamos precisar analisar se a função
é diferenciável e se sua derivada é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Isso nos ajudará a verificar se a função é diferenciável. Lembre-se que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente em relação a
.
A derivada de
é:
Vamos calcular cada derivada:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a derivada
é contínua. As funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas são todas contínuas em todo o seu domínio, que, nesse caso, é para todo número real
. Portanto, cada componente de
é contínua, o que significa que
é uma função contínua.
Passo 4
Como a função
é diferenciável e sua derivada
é contínua, podemos concluir que
é uma função lisa.
Resposta
Sim, a função
é uma função lisa de parâmetro
.