Seja a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Existem o valores
ou
? Justifique sua resposta;
- Faça um esboço do gráfico das curvas de nível correspondentes a
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. A matéria aqui envolve funções de duas variáveis, domínio de funções e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como determinar o domínio de uma função logarítmica e como esboçar curvas de nível no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com o logaritmo natural, o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Então, precisamos que:
Isso significa que o produto de
e
deve ser maior que zero.
Passo 3
Agora, vamos interpretar a condição
. Isso acontece quando:
- Ambos
e são positivos: e . - Ambos
e são negativos: e .
Ou seja, o domínio da função é formado pelos quadrantes onde
e
têm o mesmo sinal.
Passo 4
Vamos representar graficamente o domínio. No plano
:
- No primeiro quadrante (
, ), a função está definida. - No terceiro quadrante (
, ), a função também está definida. - Nos segundo e quarto quadrantes, a função não está definida porque
e têm sinais opostos, tornando o produto negativo. - Além disso, quando
ou , o argumento do logaritmo é zero, que não está no domínio do logaritmo natural.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os valores
,
e
existem.
-
Para
: Aqui, e . O produto , e o logaritmo de zero não está definido. Portanto, não existe. -
Para
: e . O produto , que é positivo. Logo, existe e vale . -
Para
: e . O produto , que também é positivo. Assim, existe e vale .
Passo 6
Por fim, vamos esboçar as curvas de nível para
e
. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante
.
-
Para
: Então, a curva de nível paraé , que é uma hipérbole. -
Para
: Assim, a curva de nível paraé , que também é uma hipérbole, mas mais afastada em relação ao eixo.
Resposta
Resumindo:
- O domínio da função
é o conjunto de todos os pares onde , ou seja, nos primeiro e terceiro quadrantes do plano . - Os valores
não existe, mas e existem. - As curvas de nível são hipérboles dadas por
para e para .