Seja a função f(x, y) = ln(x * y).
  1. Determine o domínio e represente-o graficamente;
  2. Existem o valores f(0,0), f(2,2) ou f(-1, -2) ? Justifique sua resposta;
  3. Faça um esboço do gráfico das curvas de nível correspondentes a c=0, e c = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . A matéria aqui envolve funções de duas variáveis, domínio de funções e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como determinar o domínio de uma função logarítmica e como esboçar curvas de nível no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como estamos lidando com o logaritmo natural, o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Então, precisamos que:
Isso significa que o produto de e deve ser maior que zero.

Passo 3

Agora, vamos interpretar a condição . Isso acontece quando:
  1. Ambos e são positivos: e .
  2. Ambos e são negativos: e .
Ou seja, o domínio da função é formado pelos quadrantes onde e têm o mesmo sinal.

Passo 4

Vamos representar graficamente o domínio. No plano :
  • No primeiro quadrante ( , ), a função está definida.
  • No terceiro quadrante ( , ), a função também está definida.
  • Nos segundo e quarto quadrantes, a função não está definida porque e têm sinais opostos, tornando o produto negativo.
  • Além disso, quando ou , o argumento do logaritmo é zero, que não está no domínio do logaritmo natural.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os valores , e existem.
  • Para : Aqui, e . O produto , e o logaritmo de zero não está definido. Portanto, não existe.
  • Para : e . O produto , que é positivo. Logo, existe e vale .
  • Para : e . O produto , que também é positivo. Assim, existe e vale .

Passo 6

Por fim, vamos esboçar as curvas de nível para e . As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante .
  • Para :
    Então, a curva de nível para é , que é uma hipérbole.
  • Para :
    Assim, a curva de nível para é , que também é uma hipérbole, mas mais afastada em relação ao eixo.

Resposta

Resumindo:
  1. O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde , ou seja, nos primeiro e terceiro quadrantes do plano .
  2. Os valores não existe, mas e existem.
  3. As curvas de nível são hipérboles dadas por para e para .

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