Dada a função
sen
e o ponto
: Justifique por que
é diferenciável no ponto
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado: temos a função
e queremos justificar por que essa função é diferenciável no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a noção de diferenciabilidade e como verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
No ponto
:
A derivada parcial de
em relação a
é:
No ponto
:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais
e
são contínuas no ponto
. Observando as expressões das derivadas, percebemos que elas são compostas por funções contínuas (polinômios, exponenciais e funções trigonométricas), e portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio da função, incluindo o ponto
.
Passo 4
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas no ponto
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto, de acordo com os critérios de diferenciabilidade em funções de várias variáveis.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
porque as suas derivadas parciais existem, são contínuas nesse ponto, assegurando assim a diferenciabilidade de
em
.
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é mínimo
Se
e
, encontre
e
.
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de
;
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine a derivada direcional em
na direção do vetor
;