Dada a função sen e o ponto : Justifique por que é diferenciável no ponto ;

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: temos a função e queremos justificar por que essa função é diferenciável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a noção de diferenciabilidade e como verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais e são contínuas no ponto . Observando as expressões das derivadas, percebemos que elas são compostas por funções contínuas (polinômios, exponenciais e funções trigonométricas), e portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio da função, incluindo o ponto .

Passo 4

Como as derivadas parciais e existem e são contínuas no ponto , podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto, de acordo com os critérios de diferenciabilidade em funções de várias variáveis.

Resposta

A função é diferenciável no ponto porque as suas derivadas parciais existem, são contínuas nesse ponto, assegurando assim a diferenciabilidade de em .

Exercícios relacionados

Seja . Encontre as direções e os valores de para os quais: é mínimo
Se e , encontre e .
Dada a função sen e o ponto : Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de ;
Dada a função sen e o ponto : Determine a derivada direcional em na direção do vetor ;