Se r=x^2+y^5 z^3 e x=u v e^2 s, y=u^2-v^2 s, z=sen(u v s^2), encontre a) partial r / partial u e b) partial r / partial s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso está dentro do cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar das expressões de em termos de , e , e saber como essas variáveis dependem de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar e , precisamos usar a regra da cadeia. Isso porque depende de , e , que por sua vez dependem de , e .

Passo 3

Vamos identificar as derivadas parciais necessárias. Para partial rpartial u = partial rpartial x cdot partial xpartial u + partial rpartial y cdot partial ypartial u + partial rpartial z cdot partial zpartial u :
partial rpartial s = partial rpartial x cdot partial xpartial s + partial rpartial y cdot partial ypartial s + partial rpartial z cdot partial zpartial s
E para :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial rpartial x = 2x em relação a partial rpartial y = 5y^4 z^3 , partial rpartial z = 3y^5 z^2 e :

Passo 5

Agora, encontramos as derivadas de partial xpartial u = v e^2s , partial xpartial s = 2u v e^2s e partial ypartial u = 2u em relação a partial ypartial s = -v^2 e z = sin(u v s^2) :
Para partial zpartial u = v s^2 cos(u v s^2) e partial zpartial s = 2u v s cos(u v s^2) :
Para e :
Para e :
Sabemos que:
Então,

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da regra da cadeia.
Para partial rpartial u = 2x cdot v e^2s + 5y^4 z^3 cdot 2u + 3y^5 z^2 cdot v s^2 cos(u v s^2) :
partial rpartial s = 2x cdot 2u v e^2s + 5y^4 z^3 cdot (-v^2) + 3y^5 z^2 cdot 2u v s cos(u v s^2)
Para :

Resposta

As derivadas são:
a) partial rpartial u = 2x v e^2s + 10u y^4 z^3 + 3v s^2 y^5 z^2 cos(u v s^2)
b) partial rpartial s = 4u v x e^2s - 5v^2 y^4 z^3 + 6u v s y^5 z^2 cos(u v s^2)

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