Dada a função
sen
e o ponto
: Determine a derivada direcional em
na direção do vetor
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e o ponto
. Precisamos encontrar a derivada direcional nessa posição na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e um vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E agora, a derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Para
e
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Vamos normalizar o vetor
para obter o vetor unitário na mesma direção:
Então, o vetor unitário é:
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional é
.
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Dada a função
sen
e o ponto
: Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de
;
Dada a função
sen
e o ponto
: Justifique por que
é diferenciável no ponto
;
Determine a equação do plano tangente às superfícies nos pontos indicados:
no ponto
.
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é máximo