Dada a função f(x, y) = x^2 * y + e^(x * y) sen y e o ponto P0(1,0) : Determine a derivada direcional em P0 na direção do vetor u = <3, 2>;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e o ponto . Precisamos encontrar a derivada direcional nessa posição na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e um vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E agora, a derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Para e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na mesma direção:
Então, o vetor unitário é:
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional é .

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