Seja . Encontre as direções e os valores de para os quais: é mínimo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com a função . A gente precisa encontrar as direções e os valores da derivada direcional onde essa derivada é mínima. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariado, mais especificamente o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função , que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas:
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 3

A derivada direcional na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Queremos minimizar . Sabemos que o produto escalar é máximo quando está na mesma direção do gradiente e mínimo quando está na direção oposta. Portanto, a direção que minimiza é a direção oposta ao gradiente.
Primeiro, normalizamos o gradiente para encontrar o vetor unitário na direção oposta:

Resposta

A direção que minimiza é e o valor mínimo da derivada direcional é .

Exercícios relacionados

Se e , encontre e .
Uma função diferenciável tem no ponto derivada direcional na direção do vetor igual a 4 e na direção do vetor igual a 2 . Determine o valor de .
Dada a função sen e o ponto : Justifique por que é diferenciável no ponto ;
Dada a função sen e o ponto : Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de ;