Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é mínimo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com a função
. A gente precisa encontrar as direções
e os valores da derivada direcional
onde essa derivada é mínima. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariado, mais especificamente o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 3
A derivada direcional
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário
:
Queremos minimizar
. Sabemos que o produto escalar é máximo quando
está na mesma direção do gradiente e mínimo quando
está na direção oposta. Portanto, a direção que minimiza
é a direção oposta ao gradiente.
Primeiro, normalizamos o gradiente para encontrar o vetor unitário na direção oposta:
Resposta
A direção que minimiza
é
e o valor mínimo da derivada direcional é
.
Exercícios relacionados
Se
e
, encontre
e
.
Uma função diferenciável
tem no ponto
derivada direcional na direção do vetor
igual a 4 e na direção do vetor
igual a 2 . Determine o valor de
.
Dada a função
sen
e o ponto
: Justifique por que
é diferenciável no ponto
;
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de
;