Seja f(x, y) = x^2 - x*y + y^2 - y. Encontre as direções u = (u1, u2) e os valores de D_u f(1,-1) para os quais: D_u f(1,-1) é mínimo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com a função . A gente precisa encontrar as direções e os valores da derivada direcional onde essa derivada é mínima. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariado, mais especificamente o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função , que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas:
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 3

A derivada direcional na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Queremos minimizar . Sabemos que o produto escalar é máximo quando está na mesma direção do gradiente e mínimo quando está na direção oposta. Portanto, a direção que minimiza é a direção oposta ao gradiente.
Primeiro, normalizamos o gradiente para encontrar o vetor unitário na direção oposta:

Resposta

A direção que minimiza é e o valor mínimo da derivada direcional é .

Exercícios relacionados