Dada a função
sen
e o ponto
: Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e o ponto
. O objetivo aqui é encontrar a linearização dessa função nesse ponto e usar essa aproximação para calcular
. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Agora, avaliando em
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Derivando em relação a
:
Agora, avaliando em
:
Então,
.
Passo 5
Com essas informações, podemos montar a linearização de
no ponto
:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, a linearização é
.
Passo 6
Agora, vamos usar essa linearização para aproximar o valor de
:
Resposta
O valor aproximado de
usando a linearização é -0,2.
Exercícios relacionados
Dada a função
sen
e o ponto
: Justifique por que
é diferenciável no ponto
;
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é mínimo
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine a derivada direcional em
na direção do vetor
;
Determine a equação do plano tangente às superfícies nos pontos indicados:
no ponto
.