Dada a função f(x, y) = x^2 * y + e^(x * y) sen y e o ponto P0(1,0) : Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de f(0.9, -0.1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o ponto . O objetivo aqui é encontrar a linearização dessa função nesse ponto e usar essa aproximação para calcular . Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Derivando em relação a :
Simplificando:
Agora, avaliando em :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Derivando em relação a :
Agora, avaliando em :
Então, .

Passo 5

Com essas informações, podemos montar a linearização de no ponto :
Substituindo os valores que encontramos:
Então, a linearização é .

Passo 6

Agora, vamos usar essa linearização para aproximar o valor de :

Resposta

O valor aproximado de usando a linearização é -0,2.

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