Determine a equação do plano tangente às superfícies nos pontos indicados:
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e planos tangentes. Precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável no ponto dado para construir a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície como
. O plano tangente em um ponto
pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a x (
):
- Derivada parcial em relação a y (
):
- Derivada parcial em relação a z (
):
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine a derivada direcional em
na direção do vetor
;
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine sua linearização neste ponto e a utilize para determinar o valor de
;
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é máximo
Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente: