Determine a equação do plano tangente às superfícies nos pontos indicados: no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e planos tangentes. Precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável no ponto dado para construir a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície como . O plano tangente em um ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x ( ):
  1. Derivada parcial em relação a y ( ):
  1. Derivada parcial em relação a z ( ):

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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