Dada a função
e o conjunto compacto dado por
tal que
, e
, determine os valores máximo e mínimo que
assume em
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e um conjunto
que é um retângulo no plano, onde
varia de 0 a 2 e
de 1 a 2. Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo que a função
assume nesse conjunto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos e analisar os valores nos limites do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do conjunto
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação (2) para
:
Substituindo
na equação (1):
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto
. Como
e
, o ponto está dentro de
. Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Passo 5
Além dos pontos internos, precisamos analisar os valores da função nas bordas do conjunto
. O conjunto
tem quatro lados:
-
, onde -
, onde -
, onde -
, onde
Vamos calcular
para cada um desses lados.
Passo 6
Para
:
Como
varia de 1 a 2,
varia de 1 a 2.
Para
:
Quando
,
Quando ,
Então, varia de 2 a 5.
Quando
Então,
Passo 7
Para
:
Essa é uma parábola aberta para cima. Vamos encontrar o vértice:
Já sabemos que
.
Para
:
Essa também é uma parábola aberta para cima. Vértice:
Calculando
:
Passo 8
Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
- Ponto interno:
- Bordas:
-
: de 1 a 2 -
: de 2 a 5 -
: mínimo , máximo nos extremos dá 1 e dá 2 -
: mínimo 0, máximo no vértice dá 0 e nos extremos dá 2 e dá 2
-
Observando todos esses valores, o menor valor encontrado é 0 e o maior é 5.
Resposta
Em
, a função
assume o valor mínimo
e o valor máximo
.