Dada a função f(x, y) = 2x^2 - 2xy + y e o conjunto compacto dado por A = {(x, y) ∈ R^2 tal que 0 <= x <= 2, e 1 <= y <= 2, determine os valores máximo e mínimo que f assume em A.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função de duas variáveis, , e um conjunto que é um retângulo no plano, onde varia de 0 a 2 e de 1 a 2. Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo que a função assume nesse conjunto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos e analisar os valores nos limites do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do conjunto . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação (2) para :
Substituindo na equação (1):
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto . Como e , o ponto está dentro de . Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:

Passo 5

Além dos pontos internos, precisamos analisar os valores da função nas bordas do conjunto . O conjunto tem quatro lados:
  1. , onde
  2. , onde
  3. , onde
  4. , onde
Vamos calcular para cada um desses lados.

Passo 6

Para :
Como varia de 1 a 2, varia de 1 a 2.
Para :
Quando ,
Quando ,
Então, varia de 2 a 5.

Passo 7

Para :
Essa é uma parábola aberta para cima. Vamos encontrar o vértice:
Já sabemos que .
Para :
Essa também é uma parábola aberta para cima. Vértice:
Calculando :

Passo 8

Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
  • Ponto interno:
  • Bordas:
    • : de 1 a 2
    • : de 2 a 5
    • : mínimo , máximo nos extremos dá 1 e dá 2
    • : mínimo 0, máximo no vértice dá 0 e nos extremos dá 2 e dá 2
Observando todos esses valores, o menor valor encontrado é 0 e o maior é 5.

Resposta

Em , a função assume o valor mínimo e o valor máximo .

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