Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções: f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^2 - 4y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais primeiras se igualam a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Para :
Para :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 5

Calculamos o discriminante :

Passo 6

Analisamos o discriminante:
  • Se e , tem mínimo local.
  • Se e , tem máximo local.
  • Se , é ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local no ponto . Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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