Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais primeiras se igualam a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Para
:
Para
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 5
Calculamos o discriminante
:
Passo 6
Analisamos o discriminante:
- Se
e , tem mínimo local. - Se
e , tem máximo local. - Se
, é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto crítico é um máximo local.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
. Não há mínimos locais nem pontos de sela.
Exercícios relacionados
Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto
no ponto
Dada a função
e o conjunto compacto dado por
tal que
, e
, determine os valores máximo e mínimo que
assume em
.
Mostre que
é diferenciável em (1,0). Em seguida, determine seu plano tangente e encontre sua a linearização. Usando linearização encontrada, aplique no ponto
. Compara o valor obtido com o valor de
.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.