Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções: f(x, y) = x^3 * y + 12 * x^2 - 8 * y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função . Isso está relacionado ao cálculo multivariável, mais especificamente à análise de máximos, mínimos e pontos de sela em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses são os pontos onde as derivadas parciais de com relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
  1. :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
  1. :

Passo 5

Vamos analisar as soluções:
  • Se , substituindo em , temos:
Então, não nos dá um ponto crítico válido.
  • Se , substituindo em , já sabemos que , então substituindo em :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 6

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 7

Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto crítico :

Passo 8

O próximo passo é calcular o determinante da matriz Hessiana , que é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, interpretamos o valor de :
  • Se e : mínimo local.
  • Se e : máximo local.
  • Se : ponto de sela.
  • Se : teste inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e não possui valores máximos ou mínimos locais.

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