Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
. Isso está relacionado ao cálculo multivariável, mais especificamente à análise de máximos, mínimos e pontos de sela em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses são os pontos onde as derivadas parciais de
com relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
-
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
-
:
Passo 5
Vamos analisar as soluções:
- Se
, substituindo em , temos:
Então,
não nos dá um ponto crítico válido.
- Se
, substituindo em , já sabemos que , então substituindo em :
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 7
Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto crítico
:
Passo 8
O próximo passo é calcular o determinante da matriz Hessiana
, que é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, interpretamos o valor de
:
- Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e não possui valores máximos ou mínimos locais.