Sejam
e
diferenciáveis e dadas implicitamente pelo sistema
Determine
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações que relacionam
e
, e queremos descobrir as derivadas dessas funções em relação a
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as funções estão ligadas de forma indireta pelas equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que nos foi dado:
Essas equações relacionam
,
e
de maneira que
e
são funções de
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a segunda equação com relação a
. Isso vai nos ajudar a encontrar uma expressão para
.
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a primeira equação do sistema em relação a
usando a diferenciação implícita:
Diferenciando ambos os lados:
Aplicando a regra da cadeia em cada termo:
Passo 5
Substituímos o valor de
que encontramos no Passo 3 (
) na equação acima:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais substituindo
da segunda equação do sistema (
):
Resposta
As derivadas são:
e