Sejam x = x(z) e y = y(z) diferenciáveis e dadas implicitamente pelo sistema
x^2 + y^2 + z^2 = 1, x + z = 1
Determine d x / d z e d/y d/z.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações que relacionam e , e queremos descobrir as derivadas dessas funções em relação a , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as funções estão ligadas de forma indireta pelas equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que nos foi dado:
Essas equações relacionam , e de maneira que e são funções de .

Passo 3

Vamos começar diferenciando a segunda equação com relação a . Isso vai nos ajudar a encontrar uma expressão para .
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Sabemos que e , então:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a primeira equação do sistema em relação a usando a diferenciação implícita:
Diferenciando ambos os lados:
Aplicando a regra da cadeia em cada termo:

Passo 5

Substituímos o valor de que encontramos no Passo 3 ( ) na equação acima:
Simplificando:

Passo 6

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais substituindo da segunda equação do sistema ( ):

Resposta

As derivadas são:
e

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