Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar o plano tangente ao paraboloide elíptico dado pela equação
no ponto específico
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que o plano tangente a uma superfície em um ponto dado pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
com relação a
e
:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas conhecidas no ponto, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é
.