Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto z = 2 x^2 + y^2 no ponto 2, 2, 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar o plano tangente ao paraboloide elíptico dado pela equação no ponto específico . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que o plano tangente a uma superfície em um ponto dado pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a função é .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de com relação a e :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas conhecidas no ponto, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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