Localiza todos os extremos relativos e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os extremos relativos e pontos de sela da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente da análise de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável varia e a outra fica fixa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos isolar
:
Substituindo
na equação (2):
Então,
. Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Em seguida, calculamos o discriminante
:
Passo 5
Agora, analisamos o discriminante
:
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um único ponto de sela em
e não apresenta extremos relativos.
Exercícios relacionados
Dada a função
, com
.
Determine:
©
Determine:
©
Dada a função
, com
.
Determine:
(a)
Determine:
(a)
Dada a função
, com
.
Determine:
(b)
Determine:
(b)
Resolva as equações diferenciais.