Dada a função
, encontre a linearização
no ponto
. Suponha que
e
sejam medidos com erros máximos
, respectivamente. Estime o erro máximo possível ao calcular
a partir dos valores medidos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a função
e precisa encontrar a linearização dessa função no ponto
. A linearização é basicamente uma aproximação da função por um plano tangente nesse ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
(porque ) -
-
Passo 4
A fórmula da linearização
de
no ponto
é dada por:
Vamos calcular
, ou seja,
:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da linearização:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos estimar o erro máximo possível na função
devido aos erros nos valores de
,
e
. Os erros são:
A estimativa de erro na linearização é dada por:
Usando os valores das derivadas no ponto
:
Resposta
A linearização da função no ponto
é:
E o erro máximo estimado ao calcular
com os valores medidos é de aproximadamente 4,8 unidades.
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(a)
(b)
(a)
(b)
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e
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Seja
.
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto ? Justifique.
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto