Dada a função , encontre a linearização no ponto . Suponha que e sejam medidos com erros máximos , respectivamente. Estime o erro máximo possível ao calcular a partir dos valores medidos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função e precisa encontrar a linearização dessa função no ponto . A linearização é basicamente uma aproximação da função por um plano tangente nesse ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  2. Derivada parcial em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. (porque )

Passo 4

A fórmula da linearização de no ponto é dada por:
Vamos calcular , ou seja, :

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da linearização:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos estimar o erro máximo possível na função devido aos erros nos valores de , e . Os erros são:
A estimativa de erro na linearização é dada por:
Usando os valores das derivadas no ponto :

Resposta

A linearização da função no ponto é:
E o erro máximo estimado ao calcular com os valores medidos é de aproximadamente 4,8 unidades.

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Determine e esboce o domínio da função: .
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(b)
Encontre o volume do cilindro delimitado por e . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Seja .
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto ? Justifique.