2,0 Dada a função f(x, y, z) = x * e^(y) + y * sen(z), encontre a linearização L(x, y, z) no ponto P = (2, ln(3), pi/2). Suponha que x, y e z sejam medidos com erros máximos +- 0,2, +- 0,6 e +- pi/180, respectivamente. Estime o erro máximo possível ao calcular f a partir dos valores medidos x = 2, y = ln(3) e z = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a função e precisa encontrar a linearização dessa função no ponto . A linearização é basicamente uma aproximação da função por um plano tangente nesse ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  2. Derivada parcial em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. (porque )

Passo 4

A fórmula da linearização de no ponto é dada por:
Vamos calcular , ou seja, :

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da linearização:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos estimar o erro máximo possível na função devido aos erros nos valores de , e . Os erros são:
A estimativa de erro na linearização é dada por:
Usando os valores das derivadas no ponto :

Resposta

A linearização da função no ponto é:
E o erro máximo estimado ao calcular com os valores medidos é de aproximadamente 4,8 unidades.

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