Encontre o volume do cilindro delimitado por
e
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um cilindro definido por
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral usando essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro
é uma superfície circular com raio
no plano
. As restrições
e
indicam que o cilindro vai do plano
até uma altura
no eixo
. Então, o sólido é basicamente um cilindro reto vertical com altura
.
Passo 3
Agora, vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a configuração da integral. Nas coordenadas cilíndricas, cada ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo (raio), -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a altura.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
- Para
, como o raio do cilindro é , varia de a . - Para
, como estamos cobrindo todo o círculo, varia de a . - Para
, o cilindro vai do plano até , então varia de a .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui,
é o fator de escala que aparece quando mudamos para coordenadas cilíndricas.
Resposta
O volume do cilindro é:
Exercícios relacionados
Seja
.
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto ? Justifique.
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto
Encontre o volume do sólido delimitado por
e
.