Encontre o volume do cilindro delimitado por e . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um cilindro definido por , e . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral usando essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é uma superfície circular com raio no plano . As restrições e indicam que o cilindro vai do plano até uma altura no eixo . Então, o sólido é basicamente um cilindro reto vertical com altura .

Passo 3

Agora, vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a configuração da integral. Nas coordenadas cilíndricas, cada ponto é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo (raio),
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • Para , como o raio do cilindro é , varia de a .
  • Para , como estamos cobrindo todo o círculo, varia de a .
  • Para , o cilindro vai do plano até , então varia de a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui, é o fator de escala que aparece quando mudamos para coordenadas cilíndricas.

Resposta

O volume do cilindro é:

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Dada a função , encontre a linearização no ponto . Suponha que e sejam medidos com erros máximos , respectivamente. Estime o erro máximo possível ao calcular a partir dos valores medidos e .
Determine e esboce o domínio da função: .
Seja .
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto ? Justifique.
Encontre o volume do sólido delimitado por e .