Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resolver dois exercícios usando o Teste da Integral para verificar se as séries são convergentes ou divergentes. O Teste da Integral ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Precisaremos identificar a função associada a cada série e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série (a)
. Aqui, a sequência geral é
.
Passo 3
Vamos definir a função
. Essa função é positiva, contínua e decrescente para
, o que é necessário para aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, calculamos a integral
. Integrando, temos:
Avaliada de 1 a infinito:
Como a integral converge para
, a série também converge.
Passo 5
Agora, vamos para a série (b)
. A sequência geral é
.
Passo 6
Definimos a função
. Essa função é positiva e contínua para
, mas precisamos verificar se ela é decrescente para aplicar o Teste da Integral.
Passo 7
Calculamos a integral
. Simplificando a fração:
Então, a integral se torna:
A primeira integral é
e a segunda integral é
. Portanto, a integral diverge.
Resposta
(a) A série
é convergente.
(b) A série
é divergente.
Exercícios relacionados
(a) Explique a diferença entre