Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(b)

Passo 1

Vamos resolver dois exercícios usando o Teste da Integral para verificar se as séries são convergentes ou divergentes. O Teste da Integral ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Precisaremos identificar a função associada a cada série e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série (a) . Aqui, a sequência geral é .

Passo 3

Vamos definir a função . Essa função é positiva, contínua e decrescente para , o que é necessário para aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, calculamos a integral . Integrando, temos:
Avaliada de 1 a infinito:
Como a integral converge para , a série também converge.

Passo 5

Agora, vamos para a série (b) . A sequência geral é .

Passo 6

Definimos a função . Essa função é positiva e contínua para , mas precisamos verificar se ela é decrescente para aplicar o Teste da Integral.

Passo 7

Calculamos a integral . Simplificando a fração:
Então, a integral se torna:
A primeira integral é e a segunda integral é . Portanto, a integral diverge.

Resposta

(a) A série é convergente.
(b) A série é divergente.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
(a) Explique a diferença entre
Determine e esboce o domínio da função: .
Dada a função , encontre a linearização no ponto . Suponha que e sejam medidos com erros máximos , respectivamente. Estime o erro máximo possível ao calcular a partir dos valores medidos e .