Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty 1n^4
(b) sumn=1^infty n+2n+1

Passo 1

Vamos resolver dois exercícios usando o Teste da Integral para verificar se as séries são convergentes ou divergentes. O Teste da Integral ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Precisaremos identificar a função associada a cada série e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série (a) sumn=1^infty 1n^4. Aqui, a sequência geral é an = 1n^4.

Passo 3

Vamos definir a função f(x) = 1x^4. Essa função é positiva, contínua e decrescente para x >= 1, o que é necessário para aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, calculamos a integral integral1^infty 1x^4 dx. Integrando, temos:
integral 1x^4 dx = -13x^3 + C
Avaliada de 1 a infinito:
limb to infty (-13b^3 + 13) = 0 + 13 = 13
Como a integral converge para 13, a série também converge.

Passo 5

Agora, vamos para a série (b) sumn=1^infty n+2n+1. A sequência geral é an = n+2n+1.

Passo 6

Definimos a função f(x) = x+2x+1. Essa função é positiva e contínua para x >= 1, mas precisamos verificar se ela é decrescente para aplicar o Teste da Integral.

Passo 7

Calculamos a integral integral1^infty x+2x+1 dx. Simplificando a fração:
x+2x+1 = 1 + 1x+1
Então, a integral se torna:
integral1^infty (1 + 1x+1) dx = integral1^infty 1 , dx + integral1^infty 1x+1 dx
A primeira integral é limb to infty (b - 1) = infty e a segunda integral é limb to infty ln(b+1) - ln(2) = infty. Portanto, a integral diverge.

Resposta

(a) A série sumn=1^infty 1n^4 é convergente.
(b) A série sumn=1^infty n+2n+1 é divergente.

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