Determine e esboce o domínio da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função
. Isso envolve entender onde a função está definida. Para resolver, vamos precisar saber sobre funções logarítmicas e as condições que elas impõem.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o logaritmo natural
está definido apenas quando o argumento
é positivo. Então, precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos simplificar essa desigualdade para facilitar a análise. Podemos dividir todos os termos por 4:
Rearranjando os termos, temos:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essa desigualdade. Ela nos diz que
precisa ser maior que
. Para facilitar, podemos escrever:
Isso representa uma região no espaço tridimensional onde os valores de
,
e
satisfazem essa condição.
Passo 5
Visualizando, o domínio é um elipsoide modificado devido aos coeficientes diferentes em
e
. Para esboçar, imagine uma forma alongada ao longo do eixo
, onde para cada
, há uma região circular em
e
que satisfaz a desigualdade.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
em que
é positivo. Ou seja:
Simplificando:
Portanto, o domínio é a região no espaço tridimensional onde
.
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(a)
(b)
(a)
(b)
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e
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.