2,0 Determine e esboce o domínio da função: f(x, y, z) = ln(16 - 4*x^2 - 16*y^2 + 4*z^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . Isso envolve entender onde a função está definida. Para resolver, vamos precisar saber sobre funções logarítmicas e as condições que elas impõem.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o logaritmo natural está definido apenas quando o argumento é positivo. Então, precisamos garantir que:

Passo 3

Vamos simplificar essa desigualdade para facilitar a análise. Podemos dividir todos os termos por 4:
Rearranjando os termos, temos:

Passo 4

Agora, vamos interpretar essa desigualdade. Ela nos diz que precisa ser maior que . Para facilitar, podemos escrever:
Isso representa uma região no espaço tridimensional onde os valores de , e satisfazem essa condição.

Passo 5

Visualizando, o domínio é um elipsoide modificado devido aos coeficientes diferentes em e . Para esboçar, imagine uma forma alongada ao longo do eixo , onde para cada , há uma região circular em e que satisfaz a desigualdade.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos em que é positivo. Ou seja:
Simplificando:
Portanto, o domínio é a região no espaço tridimensional onde .

Exercícios relacionados