Seja .
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a pergunta é: Quantas curvas de nível passam pelo ponto (3, -1)?. Esse exercício está relacionado com o estudo de curvas de nível em cálculo multivariável. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como identificar quais passam por um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Basicamente, é um conjunto de pontos que fazem com que a função tenha o mesmo valor constante, digamos . Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso, a função é , então a equação da curva de nível fica:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação pra entender melhor. Primeiro, vamos se livrar da raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, isolamos :
Essa é a equação geral de uma parábola para cada valor de . Ou seja, cada curva de nível é uma parábola no plano .

Passo 4

Agora, queremos saber quantas dessas parábolas passam pelo ponto específico . Para descobrir isso, basta substituir e na equação da curva de nível e resolver para :

Passo 5

Resolvendo , temos duas possíveis soluções para :
No entanto, como estamos trabalhando com uma raiz quadrada na definição da função , representa o valor da função, que é sempre não negativo. Portanto, não é válido nesse contexto.

Resposta

Só uma curva de nível, correspondente a , passa pelo ponto .

Exercícios relacionados

Encontre o volume do cilindro delimitado por e . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Dada a função , encontre a linearização no ponto . Suponha que e sejam medidos com erros máximos , respectivamente. Estime o erro máximo possível ao calcular a partir dos valores medidos e .
Encontre o volume do sólido delimitado por e .
Suponha que, para a série , tenhamos . Quanto vale ? A série converge?