Seja
.
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto
? Justifique.
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a pergunta é: Quantas curvas de nível passam pelo ponto (3, -1)?. Esse exercício está relacionado com o estudo de curvas de nível em cálculo multivariável. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como identificar quais passam por um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Basicamente, é um conjunto de pontos
que fazem com que a função
tenha o mesmo valor constante, digamos
. Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso, a função é
, então a equação da curva de nível fica:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação pra entender melhor. Primeiro, vamos se livrar da raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, isolamos
:
Essa é a equação geral de uma parábola para cada valor de
. Ou seja, cada curva de nível
é uma parábola no plano
.
Passo 4
Agora, queremos saber quantas dessas parábolas passam pelo ponto específico
. Para descobrir isso, basta substituir
e
na equação da curva de nível e resolver para
:
Passo 5
Resolvendo
, temos duas possíveis soluções para
:
No entanto, como estamos trabalhando com uma raiz quadrada na definição da função
,
representa o valor da função, que é sempre não negativo. Portanto,
não é válido nesse contexto.
Resposta
Só uma curva de nível, correspondente a
, passa pelo ponto
.
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e
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.
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, tenhamos
. Quanto vale
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