Dada uma função , calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e precisamos calcular a expressão . Para isso, vamos usar a regra da cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis intermediárias para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Vamos definir:
Assim, a função fica mais simples:
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando e .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia para uma função de duas variáveis diz que:
E de forma semelhante para e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a , e .
Primeiro, para :
áã
Agora, para :
áã

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais de e , vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar , e .

Passo 6

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão que precisamos calcular:
Substituindo cada termo:
Simplificando cada termo:
Perceba que os termos se cancelam:

Resposta

Após simplificar, a expressão é igual a zero.

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Sejam . Calcule , e .
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
A sequência de números abaixo é conhecida como sequência de Fibonacci: Determine a equação de diferença (e as condições iniciais) gerada a partir dos termos da sequência de Fibonacci.
Considere a equação Determine a solução geral.