Dada uma função f(y-xx y, z-yy z), calcule x^2 cdot partial fpartial x+y^2 cdot partial fpartial y+z^2 cdot partial fpartial z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e precisamos calcular a expressão . Para isso, vamos usar a regra da cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis intermediárias para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Vamos definir:
u = y - xx y e v = z - yy z
Assim, a função fica mais simples:
f(u, v)
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando e .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia para uma função de duas variáveis diz que:
partial fpartial x = partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x
E de forma semelhante para e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = -1 cdot x y - (y - x) cdot y(x y)^2 = -x y - y(y - x)x^2 y^2 = -x y - y^2 + x yx^2 y^2 = -y^2x^2 y^2 = -1x^2 e partial upartial y = 1 cdot x y - (y - x) cdot x(x y)^2 = x y - x(y - x)x^2 y^2 = x y - x y + x^2x^2 y^2 = x^2x^2 y^2 = 1y^2 em relação a partial upartial z = 0 (já que u não depende de z) , partial vpartial x = 0 (já que v não depende de x) e partial vpartial y = -1 cdot y z - (z - y) cdot z(y z)^2 = -y z - z(z - y)y^2 z^2 = -y z - z^2 + y zy^2 z^2 = -z^2y^2 z^2 = -1y^2 .
Primeiro, para partial vpartial z = 1 cdot y z - (z - y) cdot y(y z)^2 = y z - y(z - y)y^2 z^2 = y z - y z + y^2y^2 z^2 = y^2y^2 z^2 = 1z^2 :
áã
Agora, para :
áã

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais de partial fpartial x = partial fpartial u cdot (-1x^2) + partial fpartial v cdot 0 = -1x^2 cdot partial fpartial u e partial fpartial y = partial fpartial u cdot 1y^2 + partial fpartial v cdot (-1y^2) = 1y^2 cdot partial fpartial u - 1y^2 cdot partial fpartial v , vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar partial fpartial z = partial fpartial u cdot 0 + partial fpartial v cdot 1z^2 = 1z^2 cdot partial fpartial v , e .

Passo 6

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão que precisamos calcular:
x^2 cdot partial fpartial x + y^2 cdot partial fpartial y + z^2 cdot partial fpartial z
Substituindo cada termo:
x^2 cdot (-1x^2 cdot partial fpartial u) + y^2 cdot (1y^2 cdot partial fpartial u - 1y^2 cdot partial fpartial v) + z^2 cdot (1z^2 cdot partial fpartial v)
Simplificando cada termo:
- partial fpartial u + partial fpartial u - partial fpartial v + partial fpartial v
Perceba que os termos se cancelam:
- partial fpartial u + partial fpartial u = 0 e - partial fpartial v + partial fpartial v = 0

Resposta

Após simplificar, a expressão x^2 cdot partial fpartial x + y^2 cdot partial fpartial y + z^2 cdot partial fpartial z = 0 é igual a zero.

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