A sequência de números abaixo é conhecida como sequência de Fibonacci: Determine a equação de diferença (e as condições iniciais) gerada a partir dos termos da sequência de Fibonacci.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a sequência de Fibonacci, que é essa lista de números: . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação de diferença que descreve essa sequência, ou seja, uma fórmula que nos diga como encontrar cada termo a partir dos anteriores. Além disso, precisamos também definir as condições iniciais, que são os primeiros termos da sequência que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença. Basicamente, é uma maneira de relacionar um termo de uma sequência com alguns termos anteriores. No caso da sequência de Fibonacci, percebemos que cada número depois dos dois primeiros é a soma dos dois números que vêm antes dele.

Passo 3

Então, vamos ver como isso funciona na prática:
  • O terceiro termo é a soma de e .
  • O quarto termo é a soma de e .
  • E assim por diante…
Essa regra geral nos ajuda a escrever a equação de diferença.

Passo 4

Agora, vamos escrever isso matematicamente. Se chamarmos o -ésimo termo de , a relação que temos é:
Isso quer dizer que qualquer termo (a partir do terceiro) é igual à soma do termo anterior e do termo dois lugares antes .

Passo 5

Por último, precisamos definir as condições iniciais, que são os primeiros termos da sequência de Fibonacci. Sabemos que:
Esses dois valores são essenciais para começar a gerar toda a sequência usando a equação de diferença que encontramos.

Resposta

A equação de diferença para a sequência de Fibonacci é:
Com as condições iniciais:

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Dada uma função , calcule
Sejam . Calcule , e .
Considere a equação Determine a solução geral.
seja uma função diferenciável, onde . Mostre que