A sequência de números abaixo é conhecida como sequência de Fibonacci:
Determine a equação de diferença (e as condições iniciais) gerada a partir dos termos da sequência de Fibonacci.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a sequência de Fibonacci, que é essa lista de números:
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação de diferença que descreve essa sequência, ou seja, uma fórmula que nos diga como encontrar cada termo a partir dos anteriores. Além disso, precisamos também definir as condições iniciais, que são os primeiros termos da sequência que a gente já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença. Basicamente, é uma maneira de relacionar um termo de uma sequência com alguns termos anteriores. No caso da sequência de Fibonacci, percebemos que cada número depois dos dois primeiros é a soma dos dois números que vêm antes dele.
Passo 3
Então, vamos ver como isso funciona na prática:
- O terceiro termo
é a soma de e . - O quarto termo
é a soma de e . - E assim por diante…
Essa regra geral nos ajuda a escrever a equação de diferença.
Passo 4
Agora, vamos escrever isso matematicamente. Se chamarmos o
-ésimo termo de
, a relação que temos é:
Isso quer dizer que qualquer termo
(a partir do terceiro) é igual à soma do termo anterior
e do termo dois lugares antes
.
Passo 5
Por último, precisamos definir as condições iniciais, que são os primeiros termos da sequência de Fibonacci. Sabemos que:
Esses dois valores são essenciais para começar a gerar toda a sequência usando a equação de diferença que encontramos.
Resposta
A equação de diferença para a sequência de Fibonacci é:
Com as condições iniciais:
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Dada uma função
, calcule
Sejam
. Calcule
,
e
.
Considere a equação
Determine a solução geral.
seja
uma função diferenciável, onde
. Mostre que