Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar conceitos de equações de recorrência e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação de diferença. Substituímos por na equação original:
Dividindo todos os termos por (com ):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar as raízes. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e :

Passo 4

As raízes são complexas conjugadas: e . Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação de diferença é:
onde e .

Passo 5

Substituindo e na solução geral:

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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Use a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de:
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Sejam . Calcule , e .
Dada uma função , calcule