Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações de recorrência e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação de diferença. Substituímos
por
na equação original:
Dividindo todos os termos por
(com
):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar as raízes. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Passo 4
As raízes são complexas conjugadas:
e
. Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação de diferença é:
onde
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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Use a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de:
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Sejam
. Calcule
,
e
.
Dada uma função
, calcule