Sejam f(x, y, z)=x^3 y^4 z^5+x cdot sen(y z) g(x, y)=e^x ln y. Calcule partial^3 fpartial x^3, partial^3 fpartial y^3, partial^3 fpartial z^3, partial^3 gpartial x^3 e partial^3 gpartial y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aqui:
O que precisamos fazer é calcular as terceiras derivadas parciais dessas funções em relação às suas variáveis. Isso envolve conhecer a matéria de derivadas parciais e como aplicá-las várias vezes.

Passo 2

Vamos começar com a função . Primeiro, vamos calcular a terceira derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para derivar partial fpartial x = 3x^2 y^4 z^5 + sen(y z) em relação a , tratamos e como constantes.
A função .
Primeira derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a partial^2 fpartial x^2 = 6x y^4 z^5 + 0 = 6x y^4 z^5 para obter a segunda derivada:
(Note que a derivada da constante em relação a é zero.)

Passo 5

Derivando uma vez mais em relação a partial^3 fpartial x^3 = 6 y^4 z^5 para obter a terceira derivada:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial fpartial y = x^3 cdot 4y^3 z^5 + x cdot cos(y z) cdot z . Começamos derivando em relação a .
Primeira derivada em relação a :

Passo 7

Segunda derivada em relação a partial^2 fpartial y^2 = x^3 cdot 12 y^2 z^5 + x cdot (-sen(y z)) cdot z^2 :

Passo 8

Terceira derivada em relação a partial^3 fpartial y^3 = x^3 cdot 24 y z^5 + x cdot (-cos(y z)) cdot z^3 :

Passo 9

Agora, vamos calcular partial fpartial z = x^3 y^4 cdot 5 z^4 + x cdot cos(y z) cdot y . Começamos derivando em relação a .
Primeira derivada em relação a :

Passo 10

Segunda derivada em relação a partial^2 fpartial z^2 = x^3 y^4 cdot 20 z^3 + x cdot (-sen(y z)) cdot y^2 :

Passo 11

Terceira derivada em relação a partial^3 fpartial z^3 = x^3 y^4 cdot 60 z^2 + x cdot (-cos(y z)) cdot y^3 :

Passo 12

Agora, vamos para a função partial gpartial x = e^x ln y . Vamos calcular .
Primeira derivada em relação a :

Passo 13

Segunda derivada em relação a partial^2 gpartial x^2 = e^x ln y :

Passo 14

Terceira derivada em relação a partial^3 gpartial x^3 = e^x ln y :

Passo 15

Finalmente, vamos calcular partial gpartial y = e^x cdot 1y . Começamos derivando em relação a .
Primeira derivada em relação a :

Passo 16

Segunda derivada em relação a partial^2 gpartial y^2 = e^x cdot ( -1y^2 ) :

Passo 17

Terceira derivada em relação a partial^3 gpartial y^3 = e^x cdot ( 2y^3 ) :

Resposta

As terceiras derivadas parciais são:
partial^3 fpartial x^3 = 6 y^4 z^5
partial^3 fpartial y^3 = 24 x^3 y z^5 - x y^3 cos(y z)
partial^3 fpartial z^3 = 60 x^3 y^4 z^2 - x y^3 cos(y z)
partial^3 gpartial x^3 = e^x ln y
partial^3 gpartial y^3 = 2 e^xy^3

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