Sejam
. Calcule
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aqui:
O que precisamos fazer é calcular as terceiras derivadas parciais dessas funções em relação às suas variáveis. Isso envolve conhecer a matéria de derivadas parciais e como aplicá-las várias vezes.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Primeiro, vamos calcular a terceira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, tratamos
e
como constantes.
A função
.
Primeira derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a
para obter a segunda derivada:
(Note que a derivada da constante
em relação a
é zero.)
Passo 5
Derivando uma vez mais em relação a
para obter a terceira derivada:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Começamos derivando
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Passo 7
Segunda derivada em relação a
:
Passo 8
Terceira derivada em relação a
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Começamos derivando
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Passo 10
Segunda derivada em relação a
:
Passo 11
Terceira derivada em relação a
:
Passo 12
Agora, vamos para a função
. Vamos calcular
.
Primeira derivada em relação a
:
Passo 13
Segunda derivada em relação a
:
Passo 14
Terceira derivada em relação a
:
Passo 15
Finalmente, vamos calcular
. Começamos derivando
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Passo 16
Segunda derivada em relação a
:
Passo 17
Terceira derivada em relação a
:
Resposta
As terceiras derivadas parciais são: