Dada a função f(z), determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(a) f(z) = e^(-y) * sen(x) - i * e^(-y) * cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir onde a função é analítica e onde ela tem singularidades. Estamos falando de funções de variável complexa aqui, então vamos precisar usar as equações de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que , onde e são as partes real e imaginária de . A função pode ser escrita como , onde:

Passo 3

Agora, para a função ser analítica em um ponto, ela precisa satisfazer as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. As equações são:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
  1. e . Elas são iguais!
  2. e . Também são iguais!

Passo 6

Como as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que a função é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A função é analítica em todo o plano complexo e não possui singularidades.

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