Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir onde a função
é analítica e onde ela tem singularidades. Estamos falando de funções de variável complexa aqui, então vamos precisar usar as equações de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
, onde
e
são as partes real e imaginária de
. A função
pode ser escrita como
, onde:
Passo 3
Agora, para a função ser analítica em um ponto, ela precisa satisfazer as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. As equações são:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
-
e . Elas são iguais! -
e . Também são iguais!
Passo 6
Como as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que a função
é analítica em todo o plano complexo.
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo e não possui singularidades.
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Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
(d)
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Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b)
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Calcule a derivada
das seguintes funções:
Use propriedades de translação e derivadas de transformantes para calcular
ou
como indicado.
(i)
(i)