Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é harmônica. Se for, precisamos encontrar o seu conjugado harmônico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a equação de Laplace e as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser harmônica. Uma função
é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, que é:
Aqui,
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
é a segunda derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos somar as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função
satisfaz a equação de Laplace. Portanto, ela é uma função harmônica.
Passo 5
Como
é harmônica, podemos encontrar o seu conjugado harmônico
usando as condições de Cauchy-Riemann:
Já calculamos
e
. Vamos então integrar para encontrar
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Podemos ignorar a constante, pois estamos procurando apenas uma função conjugada.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A função
é harmônica e o seu conjugado harmônico é:
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.
(l)
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é derivável
(d)
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ou
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(d)
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, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(a)
(a)