Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b) v(x, y) = 2*x - x^3 + 3*x*y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é harmônica. Se for, precisamos encontrar o seu conjugado harmônico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a equação de Laplace e as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, que é:
Aqui, é a segunda derivada parcial de em relação a e é a segunda derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função satisfaz a equação de Laplace. Portanto, ela é uma função harmônica.

Passo 5

Como é harmônica, podemos encontrar o seu conjugado harmônico usando as condições de Cauchy-Riemann:
Já calculamos e . Vamos então integrar para encontrar .

Passo 6

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:

Passo 7

Agora, integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração. Podemos ignorar a constante, pois estamos procurando apenas uma função conjugada.

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Resposta

A função é harmônica e o seu conjugado harmônico é:

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