Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular L{f(t)} ou L^{-1}{F(s)} como indicado.
(d) L{e^(-2 t) cos(4 t)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a Transformada de Laplace de . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e cossenos, e vamos usar propriedades de translação e as fórmulas de transformadas para resolver. Precisamos conhecer a Transformada de Laplace de e a propriedade de translação no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Transformada de Laplace da função . A fórmula é:
Aqui, é a variável na Transformada de Laplace, e é a frequência da função cosseno.

Passo 3

Agora, observamos que nossa função é . Isso significa que temos uma função cosseno multiplicada por uma exponencial negativa. Para lidar com isso, usamos a propriedade de translação na Transformada de Laplace, que diz que:
Onde é a Transformada de Laplace de , e é o coeficiente da exponencial.

Passo 4

Aplicando a propriedade de translação à nossa função, identificamos que e . Primeiro, encontramos a Transformada de Laplace de :

Passo 5

Agora, aplicamos a translação substituindo por . Como , temos:

Passo 6

Simplificando o denominador:
Portanto, a Transformada de Laplace fica:

Resposta

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Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b) v(x, y) = 2*x - x^3 + 3*x*y^2
Use fórmulas de inversão da transformada de Laplace de funções básicas para calcular a transformada inversa L^{-1}{f(t)}.
(l) L^-1{1/((s^2+1)(s^2+4))}
Dada a função f(z), determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(a) f(z) = e^(-y) * sen(x) - i * e^(-y) * cos(x)
Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = -1/2 x^(-4)