Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a Transformada de Laplace de
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e cossenos, e vamos usar propriedades de translação e as fórmulas de transformadas para resolver. Precisamos conhecer a Transformada de Laplace de
e a propriedade de translação no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Transformada de Laplace da função
. A fórmula é:
Aqui,
é a variável na Transformada de Laplace, e
é a frequência da função cosseno.
Passo 3
Agora, observamos que nossa função é
. Isso significa que temos uma função cosseno multiplicada por uma exponencial negativa. Para lidar com isso, usamos a propriedade de translação na Transformada de Laplace, que diz que:
Onde
é a Transformada de Laplace de
, e
é o coeficiente da exponencial.
Passo 4
Aplicando a propriedade de translação à nossa função, identificamos que
e
. Primeiro, encontramos a Transformada de Laplace de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a translação substituindo
por
. Como
, temos:
Passo 6
Simplificando o denominador:
Portanto, a Transformada de Laplace fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b)
(b)
Use fórmulas de inversão da transformada de Laplace de funções básicas para calcular a transformada inversa
.
(l)
(l)
Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(a)
(a)
Calcule a derivada
das seguintes funções: