Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
© u(x, y) = 2 x (1 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos verificar se ela é harmônica. Se for, também vamos encontrar seu conjugado harmônico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções harmônicas e como encontrar funções conjugadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, o que é uma função harmônica? Em matemática, uma função harmônica é aquela que satisfaz a equação de Laplace, ou seja, sua segunda derivada em relação a mais a segunda derivada em relação a é igual a zero:
Então, nosso primeiro passo é calcular essas derivadas parciais da função e ver se a soma delas dá zero.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, somamos as duas segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como , a função não é harmônica.

Resposta

A função não é harmônica, pois não satisfaz a equação de Laplace.

Exercícios relacionados

Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a) u(x, y) = y / (x^2 + y^2)
Dada a função f(z), determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(b) f(z) = 2xy + i(x^2 - y^2)
Use o item anterior para calcular integral1^2 x^-2 d x usando a definição de integral tomando P uma partição equiespaçada de [1,2] e P^* a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de P. Interprete geometricamente.
Seja gamma=partial D(0,1). Deduzir o valor da integral integral0^2 pi cos ^2 n t d t e integral0^2 pi sen^2 n t d t.