Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
© u(x, y) = 2 x (1 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos verificar se ela é harmônica. Se for, também vamos encontrar seu conjugado harmônico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções harmônicas e como encontrar funções conjugadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, o que é uma função harmônica? Em matemática, uma função harmônica é aquela que satisfaz a equação de Laplace, ou seja, sua segunda derivada em relação a mais a segunda derivada em relação a é igual a zero:
Então, nosso primeiro passo é calcular essas derivadas parciais da função e ver se a soma delas dá zero.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, somamos as duas segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como , a função não é harmônica.

Resposta

A função não é harmônica, pois não satisfaz a equação de Laplace.

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