Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos verificar se ela é harmônica. Se for, também vamos encontrar seu conjugado harmônico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções harmônicas e como encontrar funções conjugadas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, o que é uma função harmônica? Em matemática, uma função harmônica é aquela que satisfaz a equação de Laplace, ou seja, sua segunda derivada em relação a
mais a segunda derivada em relação a
é igual a zero:
Então, nosso primeiro passo é calcular essas derivadas parciais da função
e ver se a soma delas dá zero.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos as duas segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como
, a função
não é harmônica.
Resposta
A função
não é harmônica, pois não satisfaz a equação de Laplace.
Exercícios relacionados
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a)
(a)
Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(b)
(b)
Use o item anterior para calcular
usando a definição de integral tomando
uma partição equiespaçada de
e
a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de
. Interprete geometricamente.
Seja
. Deduzir o valor da integral
.