Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a função
é harmônica. Se for, também vamos encontrar o conjugado harmônico dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo e teoria das funções harmônicas.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função harmônica? Uma função
é chamada de harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace, que é:
Então, para verificar se
é harmônica, precisamos calcular suas segundas derivadas parciais em relação a
e
e ver se a soma delas é zero.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a segunda derivada de
em relação a
:
Simplificando essa expressão, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 6
E a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos as segundas derivadas parciais:
Como a soma é zero, a função
é realmente harmônica.
Passo 8
Agora que sabemos que
é harmônica, vamos encontrar o conjugado harmônico dela, que chamaremos de
. O conjugado harmônico satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos
e
. Vamos integrar para encontrar
.
Passo 9
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante de integração que pode depender de
. Como estamos procurando o conjugado harmônico, podemos desconsiderar a constante.
Passo 10
Portanto, o conjugado harmônico de
é:
Resposta
A função
é harmônica e seu conjugado harmônico é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(b)
(b)
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
©
©
Use o item anterior para calcular
usando a definição de integral tomando
uma partição equiespaçada de
e
a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de
. Interprete geometricamente.