Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a) u(x, y) = y / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a função é harmônica. Se for, também vamos encontrar o conjugado harmônico dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo e teoria das funções harmônicas.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função harmônica? Uma função é chamada de harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace, que é:
Então, para verificar se é harmônica, precisamos calcular suas segundas derivadas parciais em relação a e e ver se a soma delas é zero.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, a segunda derivada de em relação a :
Simplificando essa expressão, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 6

E a segunda derivada de em relação a :

Passo 7

Agora, somamos as segundas derivadas parciais:
Como a soma é zero, a função é realmente harmônica.

Passo 8

Agora que sabemos que é harmônica, vamos encontrar o conjugado harmônico dela, que chamaremos de . O conjugado harmônico satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos e . Vamos integrar para encontrar .

Passo 9

Integrando em relação a :
onde é uma constante de integração que pode depender de . Como estamos procurando o conjugado harmônico, podemos desconsiderar a constante.

Passo 10

Portanto, o conjugado harmônico de é:

Resposta

A função é harmônica e seu conjugado harmônico é .

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