Dada uma função g definida pela equação
g(x) = { (x^3 - 1) / (x - 1) se x ≠ 1, a se x = 1 }
determine o valor de a para que g seja contínua em 1 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para e para . Queremos descobrir qual valor de faz com que essa função seja contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de 1 existe.
  3. O valor da função no ponto é igual ao limite, ou seja, .

Passo 3

Sabemos que , já está definido. Agora precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. A expressão para é:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Observamos que pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, substituindo na express��o de :

Passo 5

Podemos cancelar o termo no numerador e denominador, desde que :

Passo 6

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 usando a expressão simplificada:

Passo 7

Para que a função seja contínua em , o valor de deve ser igual a esse limite. Ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

Exercícios relacionados