Dada uma função
definida pela equação
determine o valor de a para que
seja contínua em 1 .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente para
e para
. Queremos descobrir qual valor de
faz com que essa função seja contínua no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de 1 existe. - O valor da função no ponto é igual ao limite, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos que
, já está definido. Agora precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. A expressão para
é:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Observamos que
pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, substituindo na express��o de
:
Passo 5
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1 usando a expressão simplificada:
Passo 7
Para que a função
seja contínua em
, o valor de
deve ser igual a esse limite. Ou seja:
Resposta
O valor de
que torna a função
contínua em
é
.