Mostre diretamente da definição que se lim xn=L então lim xn^2=L^2. Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade 2 a b=(a+b)^2-a^2-b^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que se , então . Além disso, precisamos estabelecer a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)) utilizando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade . Vamos precisar entender as definições de limite e como elas se aplicam a sequências, além de manipular algumas identidades matemáticas para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que, para todo , . Essa é a base que vamos usar para provar que .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que . Usando a definição de limite, precisamos provar que para todo , existe um tal que, para todo , .

Passo 4

Vamos manipular a expressão |xn^2 - L^2| = |(xn - L)(xn + L)| para torná-la mais manejável. Notamos que:
Isso nos ajuda a relacionar a diferença ao quadrado com a diferença simples , que já sabemos que é pequena para grande.

Passo 5

Sabemos que |xn + L| <= |xn - L| + 2|L| < 1 + 2|L| . Então, para tornar controlável, podemos limitar a estar dentro de uma faixa próxima de . Por exemplo, se garantirmos que , então:
Isso nos dá uma cota superior para .

Passo 6

Agora, queremos que . Sabemos que está limitada por . Então, basta escolher .

Passo 7

Usando a definição de limite, para esse |xn^2 - L^2| < varepsilon1 + 2|L| cdot (1 + 2|L|) = varepsilon , existe um tal que para todo , . Assim, multiplicando por limitada, temos:
Portanto, .

Resposta

Concluímos que, se , então , conforme demonstrado utilizando a definição de limite e as propriedades da soma e do produto.

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