Mostre diretamente da definição que se
então
. Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que se
, então
. Além disso, precisamos estabelecer a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)) utilizando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade
. Vamos precisar entender as definições de limite e como elas se aplicam a sequências, além de manipular algumas identidades matemáticas para chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que
se, para todo
, existe um número natural
tal que, para todo
,
. Essa é a base que vamos usar para provar que
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
. Usando a definição de limite, precisamos provar que para todo
, existe um
tal que, para todo
,
.
Passo 4
Vamos manipular a expressão
para torná-la mais manejável. Notamos que:
Isso nos ajuda a relacionar a diferença ao quadrado com a diferença simples
, que já sabemos que é pequena para
grande.
Passo 5
Sabemos que
. Então, para tornar
controlável, podemos limitar
a estar dentro de uma faixa próxima de
. Por exemplo, se garantirmos que
, então:
Isso nos dá uma cota superior para
.
Passo 6
Agora, queremos que
. Sabemos que
está limitada por
. Então, basta escolher
.
Passo 7
Usando a definição de limite, para esse
, existe um
tal que para todo
,
. Assim, multiplicando por
limitada, temos:
Portanto,
.
Resposta
Concluímos que, se
, então
, conforme demonstrado utilizando a definição de limite e as propriedades da soma e do produto.
Exercícios relacionados
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.
Dada a função
, onde
e
, encontre
.
Se
e
então
.
Sejam
e
; verifique que
e conclua que
. (Pode ser mais conveniente considerar primeiro
.)