Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. integral0^2 integraly-2^0 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração do integral duplo integral0^2 integraly-2^0 dx, dy. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplos e as mudanças na ordem de integração. Vamos precisar entender como representar graficamente as áreas de integração e como ajustar os limites dos integrais quando trocamos a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos y variando de 0 a 2, e para cada y, x varia de y-2 até 0.

Passo 3

Vamos interpretar os limites:
  • 0 <= y <= 2
  • y-2 <= x <= 0
Isso significa que para cada valor de y entre 0 e 2, x começa em y-2 e vai até 0.

Passo 4

Agora, vamos desenhar essa região no plano xy:
  • A linha x = y - 2 pode ser reescrita como y = x + 2. É uma reta com inclinação 1 e intercepto em y=2.
  • A linha x = 0 é o eixo y.
Entre y=0 e y=2, a região está entre a reta y = x + 2 e o eixo y.

Passo 5

Agora que temos a região, vamos mudar a ordem de integração. Anteriormente, estávamos integrando primeiro em x e depois em y. Vamos inverter isso: integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 6

Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • x varia de -2 a 0 (observando que quando y=0, x=y-2=-2, e quando y=2, x=0).
  • Para cada x, y varia de 0 até x + 2 (da equação da reta y = x + 2).

Passo 7

Então, o integral com a ordem de integração trocada fica:
integral-2^0 integral0^x + 2 dy, dx

Resposta

A ordem de integração trocada é integral-2^0 integral0^x + 2 d y, d x.

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