Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração do integral duplo
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplos e as mudanças na ordem de integração. Vamos precisar entender como representar graficamente as áreas de integração e como ajustar os limites dos integrais quando trocamos a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos
variando de 0 a 2, e para cada
,
varia de
até 0.
Passo 3
Vamos interpretar os limites:
Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 2,
começa em
e vai até 0.
Passo 4
Agora, vamos desenhar essa região no plano
:
- A linha
pode ser reescrita como . É uma reta com inclinação 1 e intercepto em . - A linha
é o eixo .
Entre
e
, a região está entre a reta
e o eixo
.
Passo 5
Agora que temos a região, vamos mudar a ordem de integração. Anteriormente, estávamos integrando primeiro em
e depois em
. Vamos inverter isso: integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 6
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
varia de a (observando que quando , , e quando , ). - Para cada
, varia de até (da equação da reta ).
Passo 7
Então, o integral com a ordem de integração trocada fica:
Resposta
A ordem de integração trocada é
.