Para a função
, determine as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
. Isso está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que é
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para encontrar
:
Como
e
são constantes em relação a
:
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Derivando a função:
Passo 5
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para encontrar
:
Passo 6
Por último, vamos encontrar a derivada mista
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: