Para a função f(x, y) = x^2 * e^y + y^2 * e^x, determine as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fyy e fxy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e . Isso está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a , que é . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar :
Como e são constantes em relação a :

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a , que é . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .
Derivando a função:

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar :

Passo 6

Por último, vamos encontrar a derivada mista . Para isso, derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:

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