Encontre as funções e seus domínios.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e entender o que precisamos fazer. Temos duas funções: e . O que devemos encontrar aqui são as funções compostas , , e . O conteúdo que estamos estudando é sobre composição de funções, e precisamos aplicar as definições para cada uma delas. Além disso, também vamos determinar o domínio de cada função composta.

Passo 2

Começamos com a primeira composição, . Isso significa que vamos substituir na função . Então, temos:
Agora, precisamos substituir por na expressão de .
Substituindo, temos:
Vamos calcular passo a passo. Primeiro, precisamos calcular , que é . Agora multiplicamos por 2:
Agora, vamos fazer a subtração:
Juntando os termos semelhantes, obtemos:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos para . Isso significa que vamos substituir na função :
Substituindo na expressão de , ficamos com:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora vamos calcular , que é substituir na própria função . Ou seja:
Substituindo na expressão de :
Vamos calcular :
Multiplicamos por 2:
Agora subtraímos :
Assim, obtemos:

Passo 5

Por último, vamos calcular , que é substituir na própria função :
Substituindo na expressão de :
Portanto, temos:

Resposta

Resumindo, as funções compostas e seus domínios são:
  • , com domínio .
  • , com domínio .
  • , com domínio .
  • , com domínio .

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: ;
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(b)
Exercício 10: Faça o gráfico de cada função.
d)
Dada a função , faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,