Encontre as funções f circ g, g circ f, f circ f, g circ g e seus domínios.
f(x)=2 x^2-x, g(x)=3 x+2

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e entender o que precisamos fazer. Temos duas funções: f(x) = 2x^2 - x e g(x) = 3x + 2. O que devemos encontrar aqui são as funções compostas f circ g, g circ f, f circ f e g circ g. O conteúdo que estamos estudando é sobre composição de funções, e precisamos aplicar as definições para cada uma delas. Além disso, também vamos determinar o domínio de cada função composta.

Passo 2

Começamos com a primeira composição, f circ g. Isso significa que vamos substituir g(x) na função f(x). Então, temos:
f circ g (x) = f(g(x)) = f(3x + 2)
Agora, precisamos substituir x por 3x + 2 na expressão de f(x).
Substituindo, temos:
f(3x + 2) = 2(3x + 2)^2 - (3x + 2)
Vamos calcular f(3x + 2) passo a passo. Primeiro, precisamos calcular (3x + 2)^2, que é 9x^2 + 12x + 4. Agora multiplicamos por 2:
2(3x + 2)^2 = 2(9x^2 + 12x + 4) = 18x^2 + 24x + 8
Agora, vamos fazer a subtração:
f(3x + 2) = 18x^2 + 24x + 8 - (3x + 2) = 18x^2 + 24x + 8 - 3x - 2
Juntando os termos semelhantes, obtemos:
f(3x + 2) = 18x^2 + (24x - 3x) + (8 - 2) = 18x^2 + 21x + 6
Então, temos:
f circ g (x) = 18x^2 + 21x + 6

Passo 3

Agora, vamos para g circ f. Isso significa que vamos substituir f(x) na função g(x):
g circ f(x) = g(f(x)) = g(2x^2 - x)
Substituindo na expressão de g(x), ficamos com:
g(2x^2 - x) = 3(2x^2 - x) + 2 = 6x^2 - 3x + 2
Portanto, temos:
g circ f(x) = 6x^2 - 3x + 2

Passo 4

Agora vamos calcular f circ f, que é substituir f(x) na própria função f. Ou seja:
f circ f(x) = f(f(x)) = f(2x^2 - x)
Substituindo 2x^2 - x na expressão de f(x):
f(2x^2 - x) = 2(2x^2 - x)^2 - (2x^2 - x)
Vamos calcular (2x^2 - x)^2:
(2x^2 - x)^2 = 4x^4 - 4x^3 + x^2
Multiplicamos por 2:
2(2x^2 - x)^2 = 2(4x^4 - 4x^3 + x^2) = 8x^4 - 8x^3 + 2x^2
Agora subtraímos 2x^2 - x:
f(2x^2 - x) = (8x^4 - 8x^3 + 2x^2) - (2x^2 - x) = 8x^4 - 8x^3 + 2x^2 - 2x^2 + x
Assim, obtemos:
f circ f(x) = 8x^4 - 8x^3 + x

Passo 5

Por último, vamos calcular g circ g, que é substituir g(x) na própria função g:
g circ g(x) = g(g(x)) = g(3x + 2)
Substituindo na expressão de g(x):
g(3x + 2) = 3(3x + 2) + 2 = 9x + 6 + 2 = 9x + 8
Portanto, temos:
g circ g(x) = 9x + 8

Resposta

Resumindo, as funções compostas e seus domínios são:
  • f circ g (x) = 18x^2 + 21x + 6, com domínio R.
  • g circ f (x) = 6x^2 - 3x + 2, com domínio R.
  • f circ f (x) = 8x^4 - 8x^3 + x, com domínio R.
  • g circ g (x) = 9x + 8, com domínio R.

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