Indique os domínios das funções dadas e derive-as:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A gente precisa descobrir o domínio dessa função e depois derivar ela. Para fazer isso, vamos precisar lembrar de algumas coisas básicas de trigonometria e cálculo, como entender o que é a função secante ( ) e como derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A função secante é o inverso da função cosseno, ou seja:
Então, nossa função pode ser reescrita como:
Isso facilita nossa análise!

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio de . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Como reescrevemos , precisamos saber onde está definido. A função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, .
No entanto, originalmente tínhamos , e para que isso seja válido, não pode ser zero (porque não podemos dividir por zero). Mas como já simplificamos para , que está sempre definida, o domínio de é todos os números reais.

Passo 4

Agora vamos derivar a função . Para derivar funções trigonométricas, usamos algumas regras básicas de derivação. A derivada de em relação a é .
Então, aplicando a constante multiplicativa:

Resposta

Domínio de : Todos os números reais, .
Derivada de :

Exercícios relacionados

Calcule os limites :
Dada a função mostre que existe, mas a função não está definida para .
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Resol ver usando o método da variação dos parâmetros: