Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
. A gente precisa descobrir o domínio dessa função e depois derivar ela. Para fazer isso, vamos precisar lembrar de algumas coisas básicas de trigonometria e cálculo, como entender o que é a função secante (
) e como derivar funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A função secante é o inverso da função cosseno, ou seja:
Então, nossa função
pode ser reescrita como:
Isso facilita nossa análise!
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio de
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como reescrevemos
, precisamos saber onde
está definido. A função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja,
.
No entanto, originalmente tínhamos
, e para que isso seja válido,
não pode ser zero (porque não podemos dividir por zero). Mas como já simplificamos para
, que está sempre definida, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 4
Agora vamos derivar a função
. Para derivar funções trigonométricas, usamos algumas regras básicas de derivação. A derivada de
em relação a
é
.
Então, aplicando a constante multiplicativa:
Resposta
Domínio de
: Todos os números reais,
.
Derivada de
:
Exercícios relacionados
Calcule os limites :
Dada a função
mostre que
existe, mas a função
não está definida para
.
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Resol ver usando o método da variação dos parâmetros: