Dada função horária
para a posição de um móvel, considere as primeiras 10 horas do movimento. Qual é o percentual desse tempo em que o móvel está se movimentando para a direita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função horária
que descreve a posição de um móvel ao longo do tempo. O objetivo é descobrir qual a porcentagem das primeiras 10 horas em que o móvel está se movendo para a direita.
Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre velocidade e a derivada da função posição. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e quando a velocidade é positiva, o móvel está se movendo para a direita.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade do móvel, que é a derivada da função posição
.
A função dada é:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Então, a velocidade
é:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir quando a velocidade é positiva, ou seja, quando
. Isso significa que tanto o numerador quanto o denominador da fração devem ter o mesmo sinal.
Vamos analisar o denominador primeiro:
Para os valores de
entre 0 e 10, esse polinômio permanece positivo (pode ser verificado testando alguns valores).
Portanto, a condição para
depende apenas do numerador:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Vamos resolver a inequação quadrática
.
Primeiro, encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Essas raízes dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira.
- Para
: Escolha
Verdadeiro.
- Para
: Escolha
Falso.
- Para
: Escolha
Verdadeiro.
Passo 5
Com isso, concluímos que a velocidade
é positiva quando:
Dentro do intervalo de 0 a 10 horas, isso significa que o móvel está se movendo para a direita de 0 a 1 hora e de 6 a 10 horas.
Vamos calcular o tempo total em que o móvel está se movendo para a direita:
Resposta
Portanto, o móvel está se movendo para a direita por 50% das primeiras 10 horas.
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Derive as seguintes funções:
p) .
p)
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j)
j)
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. Qual é a taxa de variação da área compreendida pelo quadrado quando a área é de
.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
n)
n)