Dada a função f(t)=ll14 pi t & 0,
Desenvolva f(x em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 2 pi. Rsp: fp(x)=pi^216-sumn=1^infty 1n cos (n x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por partes no intervalo de a e pede para desenvolvê-la em uma série de Fourier usando apenas termos de co-seno. Além disso, precisamos fazer o gráfico da extensão periódica dessa função com período .
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier, especialmente a versão que usa apenas os termos de co-seno, que é útil para funções que são pares (simétricas em relação ao eixo y). Vamos também precisar saber como calcular os coeficientes da série e como representar a função de forma periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
f(t) = 14 pi t & para 0 < t < pi2 14 (pi - t) & para pi2 < t < pi
Essa função é definida em um intervalo de a e é contínua nesse intervalo. Queremos expandi-la em uma série de Fourier de co-senos, o que significa que vamos representá-la como uma soma infinita de funções de co-seno com diferentes frequências.

Passo 3

Para desenvolver a série de Fourier de co-senos, precisamos calcular os coeficientes f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi xL) e f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx) que multiplicam os termos de co-seno na série. A fórmula geral para a série de Fourier de co-senos em um intervalo é:
No nosso caso, , então a série fica:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente a0 = 2L integral0^L f(x) , dx , que representa a média da função no intervalo:
a0 = 2pi ( integral0^pi2 14 pi t , dt + integralpi2^pi 14 (pi - t) , dt )
Substituindo e a função :

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Primeira integral:
integral0^pi2 14 pi t , dt = pi4 cdot t^22 g|0^pi2 = pi8 ( (pi2)^2 - 0 ) = pi^332
Segunda integral:
integralpi2^pi 14 (pi - t) , dt = 14 ( pi t - t^22 ) g|pi2^pi = 14 ( pi^2 - pi^22 - ( pi^22 - pi^28 ) ) = pi^332

Passo 6

Somando as duas integrais:
a0 = 2pi ( pi^332 + pi^332 ) = 2pi cdot pi^316 = pi^28

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) dx para an = 2pi integral0^pi f(x) cos(nx) dx :
an = 2pi ( integral0^pi2 14 pi t cos(nx) dt + integralpi2^pi 14 (pi - t) cos(nx) dt )
Substituindo :
Dividimos a integral em duas partes, de a e de a :

Passo 8

Resolvendo as integrais usando integração por partes:
Primeira integral:
integral t cos(nx) dt = t sin(nx)n + cos(nx)n^2
Segunda integral:
integral (pi - t) cos(nx) dt = pi integral cos(nx) dt - integral t cos(nx) dt = pi sin(nx)n + t sin(nx)n - cos(nx)n^2
Após calcular e substituir os limites, encontramos que muitas das parcelas se cancelam, restando:
an = -1n

Passo 9

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier de co-senos para a função fp(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx) = pi^216 - sumn=1^infty 1n cos(nx) :

Resposta

A série de Fourier de co-senos para a função fp(x) = pi^216 - sumn=1^infty 1n cos(nx) é:

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