Dada a função ,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período . Rsp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por partes no intervalo de a e pede para desenvolvê-la em uma série de Fourier usando apenas termos de co-seno. Além disso, precisamos fazer o gráfico da extensão periódica dessa função com período .
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier, especialmente a versão que usa apenas os termos de co-seno, que é útil para funções que são pares (simétricas em relação ao eixo y). Vamos também precisar saber como calcular os coeficientes da série e como representar a função de forma periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
Essa função é definida em um intervalo de a e é contínua nesse intervalo. Queremos expandi-la em uma série de Fourier de co-senos, o que significa que vamos representá-la como uma soma infinita de funções de co-seno com diferentes frequências.
Passo 3
Para desenvolver a série de Fourier de co-senos, precisamos calcular os coeficientes e que multiplicam os termos de co-seno na série. A fórmula geral para a série de Fourier de co-senos em um intervalo é:
No nosso caso, , então a série fica:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) dx para an = 2pi integral0^pi f(x) cos(nx) dx :
an = 2pi ( integral0^pi2 14 pi t cos(nx) dt + integralpi2^pi 14 (pi - t) cos(nx) dt )
Substituindo :
Dividimos a integral em duas partes, de a e de a :
Passo 8
Resolvendo as integrais usando integração por partes:
Primeira integral:
integral t cos(nx) dt = t sin(nx)n + cos(nx)n^2
Segunda integral:
integral (pi - t) cos(nx) dt = pi integral cos(nx) dt - integral t cos(nx) dt = pi sin(nx)n + t sin(nx)n - cos(nx)n^2
Após calcular e substituir os limites, encontramos que muitas das parcelas se cancelam, restando:
an = -1n
Passo 9
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier de co-senos para a função fp(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx) = pi^216 - sumn=1^infty 1n cos(nx) :
Resposta
A série de Fourier de co-senos para a função fp(x) = pi^216 - sumn=1^infty 1n cos(nx) é: