Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função dada. Ou seja, vamos representar essa função periódica como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Fourier e como calcular os coeficientes que a compõem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. A função
é periódica com
, então o período
é 1. A série de Fourier para uma função com período
é dada por:
Passo 3
Como nosso período
, a fórmula fica mais simples:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
,
e
. Eles são calculados pelas seguintes integrais:
Passo 5
Substituindo
, as integrais ficam:
Passo 6
Observando a função
, vemos que ela é par, ou seja,
. Isso significa que todos os coeficientes
serão zero, já que a parte ímpar da função não contribui para a série de Fourier. Portanto, nossa série será apenas com termos de cosseno:
Passo 7
Vamos calcular
:
Resolvendo as integrais:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Podemos resolver essas integrais usando integração por partes. Após simplificar, chegamos à expressão:
Passo 9
Simplificando ainda mais
:
Passo 10
Substituindo
e
na série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Determine as derivodos parciais indicodos:
e
.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
. Rsp:
Desenvolva
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Encontre a série de Fourier de
.