Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { x + 1, -1/2 <= x <= 0 ; 1 - x, 0 <= x <= 1/2 ; f(x + 1) = f(x) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função dada. Ou seja, vamos representar essa função periódica como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Fourier e como calcular os coeficientes que a compõem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. A função é periódica com , então o período é 1. A série de Fourier para uma função com período é dada por:

Passo 3

Como nosso período , a fórmula fica mais simples:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , e . Eles são calculados pelas seguintes integrais:

Passo 5

Substituindo , as integrais ficam:

Passo 6

Observando a função , vemos que ela é par, ou seja, . Isso significa que todos os coeficientes serão zero, já que a parte ímpar da função não contribui para a série de Fourier. Portanto, nossa série será apenas com termos de cosseno:

Passo 7

Vamos calcular :
Resolvendo as integrais:
Calculando:

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Podemos resolver essas integrais usando integração por partes. Após simplificar, chegamos à expressão:

Passo 9

Simplificando ainda mais :

Passo 10

Substituindo e na série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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