Encontre o termo geral da soma da série sumn=1^infty 44 n^2-1 e verifique se ela é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral da soma da série e verificar se essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, frações parciais e teste de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 4n^2-1 = (2n)^2 - 1^2 = (2n - 1)(2n + 1) . Perceba que o denominador 44n^2-1 = 4(2n - 1)(2n + 1) pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompôr essa fração usando frações parciais. Procuramos encontrar números 4(2n - 1)(2n + 1) = A2n - 1 + B2n + 1 e 4 = A(2n + 1) + B(2n - 1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Vamos resolver para 4 = A(2 cdot 12 + 1) + B(2 cdot 12 - 1) 4 = A(2) + B(0) A = 2 e 4 = A(2 cdot -12 + 1) + B(2 cdot -12 - 1) 4 = A(0) + B(-2) B = -2 . Podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 5

Com 4(2n - 1)(2n + 1) = 22n - 1 - 22n + 1 e , a decomposição fica:
Esse é o termo geral da série.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série ( 21 - 23 ) + ( 23 - 25 ) + ( 25 - 27 ) + cdots converge. Observamos que essa série é do tipo telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Escrevendo os primeiros termos:
Percebe-se que , , etc., se anulam, restando apenas o primeiro termo .

Passo 7

Como a soma dos termos se aproxima de e não depende de indo ao infinito, concluímos que a série converge para .

Resposta

O termo geral é e a série converge para .

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