Encontre o termo geral da soma da série
e verifique se ela é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral da soma da série
e verificar se essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, frações parciais e teste de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Perceba que o denominador
pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompôr essa fração usando frações parciais. Procuramos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Com
e
, a decomposição fica:
Esse é o termo geral da série.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série
converge. Observamos que essa série é do tipo telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Escrevendo os primeiros termos:
Percebe-se que
,
, etc., se anulam, restando apenas o primeiro termo
.
Passo 7
Como a soma dos termos se aproxima de
e não depende de
indo ao infinito, concluímos que a série converge para
.
Resposta
O termo geral é
e a série converge para
.
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, mostre que as funções
e
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e
.