Encontre o termo geral da soma da série e verifique se ela é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral da soma da série e verificar se essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, frações parciais e teste de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Perceba que o denominador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompôr essa fração usando frações parciais. Procuramos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 5

Com e , a decomposição fica:
Esse é o termo geral da série.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série converge. Observamos que essa série é do tipo telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Escrevendo os primeiros termos:
Percebe-se que , , etc., se anulam, restando apenas o primeiro termo .

Passo 7

Como a soma dos termos se aproxima de e não depende de indo ao infinito, concluímos que a série converge para .

Resposta

O termo geral é e a série converge para .

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