Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é o arco de a consistindo do
    a) semicírculo ;

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno . O contorno é um semicírculo dado pela parametrização , onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o contorno, encontrar a expressão de em termos de , e então calcular a integral usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização do contorno . A equação representa um círculo de raio 1 centrado em no plano complexo. O intervalo de de a descreve o semicírculo inferior, começando em ( ) e terminando em ( ).

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que . Derivando em relação a :
Portanto,

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de integração de a :
Simplificando :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a 0.

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