Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e
é o arco de
a
consistindo do
a) semicírculo
;
a) semicírculo
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de uma função complexa
ao longo de um contorno
. O contorno
é um semicírculo dado pela parametrização
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o contorno, encontrar a expressão de
em termos de
, e então calcular a integral usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização do contorno
. A equação
representa um círculo de raio 1 centrado em
no plano complexo. O intervalo de
de
a
descreve o semicírculo inferior, começando em
(
) e terminando em
(
).
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
. Sabemos que
. Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a 0.
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Seja
uma função dada por
. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis. Mostre que
a) ;
a)
Seja
uma função dada por
. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis. Mostre que
b) .
b)