Para os exercícios 7-YY, dada uma função f e um contorno C, use parametrizações de C, ou pedaços de C, para calcular
integralC f(z) d z
  1. f(z)=z-1 e C é o arco de z=0 a z=2 consistindo do
    a) semicírculo z=1+e^i theta,(pi <= theta <= 2 pi);

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno . O contorno é um semicírculo dado pela parametrização , onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o contorno, encontrar a expressão de em termos de , e então calcular a integral usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização do contorno . A equação representa um círculo de raio 1 centrado em no plano complexo. O intervalo de de a descreve o semicírculo inferior, começando em ( ) e terminando em ( ).

Passo 3

Agora, vamos expressar dzdtheta = ddtheta (1 + e^itheta) = i e^itheta em termos de dz = i e^itheta dtheta . Sabemos que . Derivando em relação a :
Portanto,

Passo 4

Substituímos integralC f(z) dz = integralpi^2pi (z - 1) dzdtheta dtheta = integralpi^2pi (1 + e^itheta - 1) cdot i e^itheta dtheta e z - 1 = e^itheta na integral original:
integralpi^2pi e^itheta cdot i e^itheta dtheta = i integralpi^2pi e^2itheta dtheta
Simplificando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral e^2itheta dtheta = e^2itheta2i + C em relação a i [ e^2itheta2i ]pi^2pi = i2i ( e^4ipi - e^2ipi ) :
12 (e^4ipi - e^2ipi)
Aplicando os limites de integração de 12 (1 - 1) = 0 a :
Simplificando :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a 0.

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