Mostre que a interpolação de um polinômio de grau sobre pontos, , é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que, ao interpolar um polinômio de grau usando pontos (onde ), a interpolação será exata. Para isso, vamos usar a fórmula do erro de interpolação, que faz parte do conteúdo de interpolação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é interpolação de polinômios. Interpolar um polinômio significa encontrar um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Se temos pontos distintos, sempre existe um único polinômio de grau no máximo que passa por esses pontos.

Passo 3

Agora, o exercício fala sobre interpolar um polinômio de grau usando pontos, onde . Isso significa que temos mais pontos do que o necessário para determinar o polinômio de grau (que normalmente precisa de apenas pontos).

Passo 4

Vamos utilizar a fórmula do erro de interpolação, que nos diz que o erro na interpolação de um polinômio é dado por:
Onde é a função original, é o polinômio interpolador, está entre os pontos de interpolação, e são os pontos usados na interpolação.

Passo 5

No nosso caso, é um polinômio de grau . Portanto, a derivada será zero, já que a derivada de um polinômio de grau de ordem é zero.

Passo 6

Substituindo na fórmula do erro:
Isso significa que não há erro na interpolação; ou seja, o polinômio interpolador coincide exatamente com o polinômio original .

Passo 7

Além disso, como estamos interpolando em pontos com , temos mais pontos do que o necessário para determinar um polinômio de grau . Isso reforça que o polinômio interpolador não apenas existe, mas é exatamente o mesmo que o polinômio original.

Resposta

A interpolação de um polinômio de grau sobre pontos, onde , é exata.

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Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de )